Номер 37.14, страница 212, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

37.14. a) $y = 2 - x, x \in \mathbb{N}$;

б) $y = 3x - x^2, x \in \mathbb{N}$;

В) $y = \frac{x + 5}{2}, x \in \mathbb{N}$;

Г) $y = x^2 - 4x, x \in \mathbb{N}$.

а) Дана функция $y = 2 - x$, где $x$ принадлежит множеству натуральных чисел $N = \{1, 2, 3, \dots\}$. Чтобы найти множество значений функции (область значений), необходимо подставить значения $x$ из множества натуральных чисел и найти соответствующие значения $y$.
При $x=1$, $y = 2 - 1 = 1$.
При $x=2$, $y = 2 - 2 = 0$.
При $x=3$, $y = 2 - 3 = -1$.
При $x=4$, $y = 2 - 4 = -2$.
Как видно, с увеличением $x$ на 1, значение $y$ уменьшается на 1. Таким образом, функция принимает все целочисленные значения, начиная с 1 и убывая до бесконечности. Множество значений функции — это множество всех целых чисел, не превосходящих 1.
Ответ: $\{1, 0, -1, -2, \dots\}$.

б) Дана функция $y = 3x - x^2$, где $x \in N$. Данная зависимость является квадратичной функцией $y = -x^2 + 3x$. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицательный. Следовательно, функция имеет максимальное значение.
Координата $x$ вершины параболы вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:
$x_0 = -\frac{3}{2 \cdot (-1)} = 1.5$.
Так как область определения $x$ — натуральные числа, наибольшее значение функции будет достигаться в натуральных числах, ближайших к $x_0=1.5$, то есть при $x=1$ и $x=2$.
Вычислим значения $y$ для нескольких первых натуральных $x$:
При $x=1$, $y = 3(1) - 1^2 = 2$.
При $x=2$, $y = 3(2) - 2^2 = 2$.
При $x=3$, $y = 3(3) - 3^2 = 0$.
При $x=4$, $y = 3(4) - 4^2 = -4$.
Максимальное значение функции равно 2. При $x > 2$ значения функции убывают. Множество значений представляет собой дискретный набор целых чисел.
Ответ: $\{2, 0, -4, -10, \dots\}$.

в) Дана функция $y = \frac{x+5}{2}$, где $x \in N$. Это линейная функция, определенная на множестве натуральных чисел. Вычислим значения $y$ для нескольких первых натуральных $x$:
При $x=1$, $y = \frac{1+5}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
При $x=2$, $y = \frac{2+5}{2} = \frac{7}{2} = 3.5$.
При $x=3$, $y = \frac{3+5}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
При $x=4$, $y = \frac{4+5}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$.
Значения $y$ образуют арифметическую прогрессию, где первый член равен 3, а разность прогрессии равна 0.5. Множество значений функции начинается с 3 и неограниченно возрастает с шагом 0.5.
Ответ: $\{3, 3.5, 4, 4.5, 5, \dots\}$.

г) Дана функция $y = x^2 - 4x$, где $x \in N$. Данная зависимость является квадратичной функцией. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положительный. Следовательно, функция имеет минимальное значение.
Координата $x$ вершины параболы вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:
$x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.
Так как $x_0 = 2$ является натуральным числом, то минимальное значение функции достигается именно при $x=2$.
Вычислим значения $y$ для нескольких первых натуральных $x$, начиная с $x=1$:
При $x=1$, $y = 1^2 - 4(1) = -3$.
При $x=2$, $y = 2^2 - 4(2) = -4$ (это минимальное значение).
При $x=3$, $y = 3^2 - 4(3) = -3$.
При $x=4$, $y = 4^2 - 4(4) = 0$.
При $x=5$, $y = 5^2 - 4(5) = 5$.
Множество значений представляет собой дискретный набор целых чисел, наименьшее из которых равно -4.
Ответ: $\{-4, -3, 0, 5, 12, \dots\}$.