Номер 37.10, страница 211, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

37.10. a) $x_1 = 2, x_n = nx_{n-1}$;

Б) $x_1 = -5, x_n = -0,5 \cdot x_{n-1}$;

В) $x_1 = -2, x_n = -x_{n-1}$;

Г) $x_1 = 1, x_n = \frac{x_{n-1}}{0,1}$.

а) Дана последовательность, определенная рекуррентной формулой $x_n = n \cdot x_{n-1}$ и первым членом $x_1 = 2$.
Выразим n-й член последовательности через предыдущие члены вплоть до первого:
$x_n = n \cdot x_{n-1}$
$x_n = n \cdot (n-1) \cdot x_{n-2}$
...
$x_n = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot x_1$
Произведение $n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1$ является факториалом числа $n$, обозначаемым как $n!$.
Таким образом, $x_n$ можно выразить как $x_n = n! \cdot x_1$.
Подставляя значение $x_1 = 2$, получаем формулу для n-го члена:
$x_n = 2 \cdot n!$.

Ответ: $x_n = 2 \cdot n!$

б) Дана последовательность с $x_1 = -5$ и $x_n = -0.5 \cdot x_{n-1}$.
Эта последовательность является геометрической прогрессией, так как каждый следующий член получается из предыдущего умножением на постоянное число.
Первый член прогрессии $b_1 = x_1 = -5$.
Знаменатель прогрессии $q = -0.5$.
Формула для n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Подставив значения, получаем: $x_n = -5 \cdot (-0.5)^{n-1}$.

Ответ: $x_n = -5 \cdot (-0.5)^{n-1}$

в) Дана последовательность с $x_1 = -2$ и $x_n = -x_{n-1}$.
Рекуррентную формулу можно записать как $x_n = (-1) \cdot x_{n-1}$.
Это геометрическая прогрессия с первым членом $b_1 = x_1 = -2$ и знаменателем $q = -1$.
Применяем формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$:
$x_n = -2 \cdot (-1)^{n-1}$.

Ответ: $x_n = -2 \cdot (-1)^{n-1}$

г) Дана последовательность с $x_1 = 1$ и $x_n = \frac{x_{n-1}}{0.1}$.
Преобразуем рекуррентную формулу. Деление на 0.1 эквивалентно умножению на 10:
$x_n = 10 \cdot x_{n-1}$.
Это геометрическая прогрессия с первым членом $b_1 = x_1 = 1$ и знаменателем $q = 10$.
По формуле n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$:
$x_n = 1 \cdot 10^{n-1} = 10^{n-1}$.

Ответ: $x_n = 10^{n-1}$