Номер 37.4, страница 210, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

37.4. а) $y_n = 2n^2 - n;$

б) $y_n = \frac{(-1)^n}{n^2 + 1};$

В) $y_n = \frac{3n - 1}{2n};$

Г) $y_n = \frac{(-1)^n + 2}{3n - 2}.$

а) Для последовательности $y_n = 2n^2 - n$ найдем предел при $n \to \infty$. Вычислим предел: $\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} (2n^2 - n)$. Мы имеем неопределенность вида $\infty - \infty$. Чтобы ее раскрыть, вынесем за скобки старшую степень $n$: $\lim_{n \to \infty} n^2(2 - \frac{n}{n^2}) = \lim_{n \to \infty} n^2(2 - \frac{1}{n})$. При $n \to \infty$, выражение $\frac{1}{n}$ стремится к 0. Следовательно, выражение в скобках стремится к $2 - 0 = 2$. Поскольку $n^2$ стремится к $\infty$, а выражение в скобках стремится к 2, их произведение стремится к бесконечности. $\lim_{n \to \infty} n^2(2 - \frac{1}{n}) = \infty \cdot 2 = \infty$. Таким образом, последовательность расходится.
Ответ: $\infty$.

б) Для последовательности $y_n = \frac{(-1)^n}{n^2 + 1}$ найдем предел при $n \to \infty$. Числитель $(-1)^n$ является ограниченной величиной, так как принимает значения 1 и -1. То есть, $|(-1)^n| \le 1$. Знаменатель $n^2 + 1$ при $n \to \infty$ стремится к бесконечности: $\lim_{n \to \infty} (n^2 + 1) = \infty$. Предел отношения ограниченной последовательности к бесконечно большой равен нулю. Для строгого доказательства воспользуемся теоремой о двух милиционерах (теоремой о сжатии). Так как $-1 \le (-1)^n \le 1$ для любого натурального $n$, и $n^2+1 > 0$, то справедливо неравенство: $-\frac{1}{n^2 + 1} \le \frac{(-1)^n}{n^2 + 1} \le \frac{1}{n^2 + 1}$. Найдем пределы левой и правой частей неравенства: $\lim_{n \to \infty} \left(-\frac{1}{n^2 + 1}\right) = 0$ и $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2 + 1} = 0$. Поскольку последовательность $y_n$ заключена между двумя последовательностями, сходящимися к одному и тому же пределу (0), то и сама последовательность $y_n$ сходится к этому пределу. $\lim_{n \to \infty} y_n = 0$.
Ответ: 0.

в) Для последовательности $y_n = \frac{3n - 1}{2n}$ найдем предел при $n \to \infty$. Здесь мы имеем неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$. Чтобы ее раскрыть, разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной $n$, то есть на $n$: $\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \frac{3n - 1}{2n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3n}{n} - \frac{1}{n}}{\frac{2n}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3 - \frac{1}{n}}{2}$. Поскольку при $n \to \infty$ член $\frac{1}{n}$ стремится к 0, получаем: $\frac{3 - 0}{2} = \frac{3}{2}$. Следовательно, последовательность сходится.
Ответ: $\frac{3}{2}$.

г) Для последовательности $y_n = \frac{(-1)^n + 2}{3n - 2}$ найдем предел при $n \to \infty$. Рассмотрим числитель $(-1)^n + 2$. При четных $n$ он равен $1+2=3$, а при нечетных $n$ он равен $-1+2=1$. В любом случае, числитель является ограниченной величиной: $1 \le (-1)^n + 2 \le 3$. Знаменатель $3n - 2$ при $n \to \infty$ стремится к бесконечности. Как и в пункте б), предел отношения ограниченной последовательности к бесконечно большой равен нулю. Применим теорему о сжатии. Для $n \ge 1$ знаменатель $3n-2$ положителен. $1 \le (-1)^n + 2 \le 3 \implies \frac{1}{3n - 2} \le \frac{(-1)^n + 2}{3n - 2} \le \frac{3}{3n - 2}$. Найдем пределы ограничивающих последовательностей: $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{3n - 2} = 0$ и $\lim_{n \to \infty} \frac{3}{3n - 2} = 0$. Так как $y_n$ находится между двумя последовательностями, сходящимися к 0, то по теореме о сжатии, предел $y_n$ также равен 0. $\lim_{n \to \infty} y_n = 0$.
Ответ: 0.