Номер 37.2, страница 210, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

37.2. Приведите примеры последовательностей, заданных:

а) с помощью формулы n-го члена;

б) словесно;

в) рекуррентным способом.

а) с помощью формулы n-го члена

Задать последовательность с помощью формулы n-го члена (аналитически) — это значит указать формулу, по которой для любого натурального числа n можно вычислить соответствующий ему член последовательности $a_n$. Этот способ позволяет найти любой член последовательности напрямую, зная лишь его номер.

В качестве примера рассмотрим последовательность квадратов натуральных чисел. Формула n-го члена для неё выглядит так: $a_n = n^2$.
Используя эту формулу, найдём первые несколько членов последовательности:
при $n=1$, первый член $a_1 = 1^2 = 1$;
при $n=2$, второй член $a_2 = 2^2 = 4$;
при $n=3$, третий член $a_3 = 3^2 = 9$.
Таким образом, мы получаем последовательность: 1, 4, 9, 16, 25, ...

Ответ: Примером последовательности, заданной с помощью формулы n-го члена, является последовательность квадратов натуральных чисел $a_n = n^2$, которая имеет вид: 1, 4, 9, 16, ...

б) словесно

Словесный способ задания последовательности — это описание её членов с помощью слов. Описание должно быть точным и недвусмысленным, чтобы можно было определить любой член последовательности. Этот способ часто используется для последовательностей, которые трудно или невозможно задать простой формулой.

В качестве примера рассмотрим последовательность простых чисел. Словесное описание: "последовательность, состоящая из всех простых чисел, расположенных в порядке возрастания".
Напомним, что простое число — это натуральное число больше единицы, которое делится только на 1 и на само себя.
Следуя этому правилу, получаем члены последовательности:
первое простое число — 2;
второе простое число — 3;
третье простое число — 5;
четвертое простое число — 7.
Таким образом, последовательность имеет вид: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

Ответ: Примером последовательности, заданной словесно, является "последовательность простых чисел в порядке возрастания": 2, 3, 5, 7, 11, ...

в) рекуррентным способом

Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n-й член последовательности через один или несколько предыдущих членов. Для этого необходимо задать начальные условия (один или несколько первых членов) и рекуррентную формулу.

Классическим примером является последовательность Фибоначчи. Она задаётся следующим образом:
1. Начальные условия: первый и второй члены равны 1, то есть $a_1 = 1$, $a_2 = 1$.
2. Рекуррентная формула: каждый следующий член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих, то есть $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$ при $n \ge 3$.
Вычислим первые несколько членов, используя это правило:
$a_3 = a_2 + a_1 = 1 + 1 = 2$;
$a_4 = a_3 + a_2 = 2 + 1 = 3$;
$a_5 = a_4 + a_3 = 3 + 2 = 5$.
Так мы получаем последовательность: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...

Ответ: Примером последовательности, заданной рекуррентным способом, является последовательность Фибоначчи, где $a_1 = 1$, $a_2 = 1$ и $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$ для $n \ge 3$. Последовательность имеет вид: 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...