Номер 36.20, страница 209, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

36.20. Вычислите и изобразите на комплексной плоскости:

а) $\sqrt[3]{64}$;

б) $\sqrt[3]{-27}$;

в) $\sqrt[3]{125i}$;

г) $\sqrt[3]{-512i}$.

а) $\sqrt[3]{64}$

Для извлечения корня n-й степени из комплексного числа необходимо представить его в тригонометрической форме $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$, где $r$ — модуль числа, а $\varphi$ — его аргумент. Затем используется формула Муавра для корней:

$w_k = \sqrt[n]{r} \left( \cos \frac{\varphi + 2\pi k}{n} + i \sin \frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right)$, где $k = 0, 1, \dots, n-1$.

В данном случае $n=3$.

1. Представление в тригонометрической форме:

Число $z = 64$ является действительным. Его модуль $r = |64| = 64$, а аргумент $\varphi = 0$.

Следовательно, $z = 64(\cos 0 + i \sin 0)$.

2. Вычисление корней:

Применяем формулу Муавра для $n=3$, $r=64$, $\varphi=0$:

$w_k = \sqrt[3]{64} \left( \cos \frac{0 + 2\pi k}{3} + i \sin \frac{0 + 2\pi k}{3} \right) = 4 \left( \cos \frac{2\pi k}{3} + i \sin \frac{2\pi k}{3} \right)$, где $k=0, 1, 2$.

• При $k=0$: $w_0 = 4(\cos 0 + i \sin 0) = 4(1 + 0 \cdot i) = 4$.
• При $k=1$: $w_1 = 4\left(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3}\right) = 4\left(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -2 + 2i\sqrt{3}$.
• При $k=2$: $w_2 = 4\left(\cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3}\right) = 4\left(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -2 - 2i\sqrt{3}$.

3. Изображение на комплексной плоскости:

Корни $w_0, w_1, w_2$ являются вершинами правильного треугольника, вписанного в окружность с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R = 4$. Координаты вершин: $(4, 0)$, $(-2, 2\sqrt{3})$ и $(-2, -2\sqrt{3})$.

Ответ: $w_0 = 4$, $w_1 = -2 + 2i\sqrt{3}$, $w_2 = -2 - 2i\sqrt{3}$.

б) $\sqrt[3]{-27}$

1. Представление в тригонометрической форме:

Число $z = -27$ является действительным. Его модуль $r = |-27| = 27$, а аргумент $\varphi = \pi$.

Следовательно, $z = 27(\cos \pi + i \sin \pi)$.

2. Вычисление корней:

Применяем формулу Муавра для $n=3$, $r=27$, $\varphi=\pi$:

$w_k = \sqrt[3]{27} \left( \cos \frac{\pi + 2\pi k}{3} + i \sin \frac{\pi + 2\pi k}{3} \right) = 3 \left( \cos \frac{\pi(1+2k)}{3} + i \sin \frac{\pi(1+2k)}{3} \right)$, где $k=0, 1, 2$.

• При $k=0$: $w_0 = 3\left(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}\right) = 3\left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{3}{2} + i\frac{3\sqrt{3}}{2}$.
• При $k=1$: $w_1 = 3\left(\cos \frac{3\pi}{3} + i \sin \frac{3\pi}{3}\right) = 3(\cos \pi + i \sin \pi) = 3(-1 + 0 \cdot i) = -3$.
• При $k=2$: $w_2 = 3\left(\cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3}\right) = 3\left(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{3}{2} - i\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

3. Изображение на комплексной плоскости:

Корни $w_0, w_1, w_2$ являются вершинами правильного треугольника, вписанного в окружность с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R = 3$. Координаты вершин: $(\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2})$, $(-3, 0)$ и $(\frac{3}{2}, -\frac{3\sqrt{3}}{2})$.

Ответ: $w_0 = \frac{3}{2} + i\frac{3\sqrt{3}}{2}$, $w_1 = -3$, $w_2 = \frac{3}{2} - i\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

в) $\sqrt[3]{125i}$

1. Представление в тригонометрической форме:

Число $z = 125i$ является чисто мнимым. Его модуль $r = |125i| = 125$, а аргумент $\varphi = \frac{\pi}{2}$.

Следовательно, $z = 125\left(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}\right)$.

2. Вычисление корней:

Применяем формулу Муавра для $n=3$, $r=125$, $\varphi=\frac{\pi}{2}$:

$w_k = \sqrt[3]{125} \left( \cos \frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{3} + i \sin \frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{3} \right) = 5 \left( \cos \frac{\pi(1+4k)}{6} + i \sin \frac{\pi(1+4k)}{6} \right)$, где $k=0, 1, 2$.

• При $k=0$: $w_0 = 5\left(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}\right) = 5\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}\right) = \frac{5\sqrt{3}}{2} + i\frac{5}{2}$.
• При $k=1$: $w_1 = 5\left(\cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6}\right) = 5\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}\right) = -\frac{5\sqrt{3}}{2} + i\frac{5}{2}$.
• При $k=2$: $w_2 = 5\left(\cos \frac{9\pi}{6} + i \sin \frac{9\pi}{6}\right) = 5\left(\cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2}\right) = 5(0 - 1 \cdot i) = -5i$.

3. Изображение на комплексной плоскости:

Корни $w_0, w_1, w_2$ являются вершинами правильного треугольника, вписанного в окружность с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R = 5$. Координаты вершин: $(\frac{5\sqrt{3}}{2}, \frac{5}{2})$, $(-\frac{5\sqrt{3}}{2}, \frac{5}{2})$ и $(0, -5)$.

Ответ: $w_0 = \frac{5\sqrt{3}}{2} + i\frac{5}{2}$, $w_1 = -\frac{5\sqrt{3}}{2} + i\frac{5}{2}$, $w_2 = -5i$.

г) $\sqrt[3]{-512i}$

1. Представление в тригонометрической форме:

Число $z = -512i$ является чисто мнимым. Его модуль $r = |-512i| = 512$, а аргумент $\varphi = \frac{3\pi}{2}$.

Следовательно, $z = 512\left(\cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2}\right)$.

2. Вычисление корней:

Применяем формулу Муавра для $n=3$, $r=512$, $\varphi=\frac{3\pi}{2}$:

$w_k = \sqrt[3]{512} \left( \cos \frac{\frac{3\pi}{2} + 2\pi k}{3} + i \sin \frac{\frac{3\pi}{2} + 2\pi k}{3} \right) = 8 \left( \cos \frac{\pi(3+4k)}{6} + i \sin \frac{\pi(3+4k)}{6} \right)$, где $k=0, 1, 2$.

• При $k=0$: $w_0 = 8\left(\cos \frac{3\pi}{6} + i \sin \frac{3\pi}{6}\right) = 8\left(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}\right) = 8(0 + 1 \cdot i) = 8i$.
• При $k=1$: $w_1 = 8\left(\cos \frac{7\pi}{6} + i \sin \frac{7\pi}{6}\right) = 8\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}\right) = -4\sqrt{3} - 4i$.
• При $k=2$: $w_2 = 8\left(\cos \frac{11\pi}{6} + i \sin \frac{11\pi}{6}\right) = 8\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}\right) = 4\sqrt{3} - 4i$.

3. Изображение на комплексной плоскости:

Корни $w_0, w_1, w_2$ являются вершинами правильного треугольника, вписанного в окружность с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R = 8$. Координаты вершин: $(0, 8)$, $(-4\sqrt{3}, -4)$ и $(4\sqrt{3}, -4)$.

Ответ: $w_0 = 8i$, $w_1 = -4\sqrt{3} - 4i$, $w_2 = 4\sqrt{3} - 4i$.