Номер 36.13, страница 207, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

36.13. a) $(1 + i\sqrt{3})^7 + (1 - i\sqrt{3})^7$;

б) $\frac{16i\left(\sin \frac{\pi}{3} - i \cos \frac{\pi}{3}\right)^2}{\left(\sqrt{3} + i\right)^4}$;

в) $(\sqrt{3} + i)^5 + (\sqrt{3} - i)^5$;

г) $\frac{32i\left(\sin \frac{\pi}{6} + i \cos \frac{\pi}{6}\right)^2}{\left(\sqrt{3} - i\right)^5}$.

а) $(1 + i\sqrt{3})^7 + (1 - i\sqrt{3})^7$

Данное выражение представляет собой сумму двух комплексно-сопряженных чисел, возведенных в одну и ту же степень. Пусть $z = 1 + i\sqrt{3}$, тогда второе слагаемое — это $(\bar{z})^7 = \overline{z^7}$. Выражение принимает вид $z^7 + \overline{z^7}$, что равно $2 \cdot \text{Re}(z^7)$.

Для вычисления $z^7$ представим число $z$ в тригонометрической (показательной) форме.

Модуль числа $z$: $|z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$.

Аргумент числа $z$: $\arg(z) = \varphi = \arctan(\frac{\sqrt{3}}{1}) = \frac{\pi}{3}$ (так как $z$ находится в I координатной четверти).

Таким образом, $z = 2(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3})$.

Теперь возведем $z$ в 7-ю степень, используя формулу Муавра $z^n = |z|^n(\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi))$:

$z^7 = 2^7(\cos(7 \cdot \frac{\pi}{3}) + i\sin(7 \cdot \frac{\pi}{3})) = 128(\cos\frac{7\pi}{3} + i\sin\frac{7\pi}{3})$.

Упростим аргумент: $\frac{7\pi}{3} = \frac{6\pi + \pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3}$.

Следовательно, $\cos\frac{7\pi}{3} = \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ и $\sin\frac{7\pi}{3} = \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$z^7 = 128(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 64 + 64i\sqrt{3}$.

Тогда $\overline{z^7} = 64 - 64i\sqrt{3}$.

Суммируем: $(1 + i\sqrt{3})^7 + (1 - i\sqrt{3})^7 = (64 + 64i\sqrt{3}) + (64 - 64i\sqrt{3}) = 128$.

Ответ: $128$.

б) $\frac{16i(\sin\frac{\pi}{3} - i\cos\frac{\pi}{3})^2}{(\sqrt{3}+i)^4}$

Для решения представим числитель и знаменатель в показательной форме.

Рассмотрим числитель. Преобразуем выражение в скобках: $\sin\frac{\pi}{3} - i\cos\frac{\pi}{3} = -i(i\sin\frac{\pi}{3} + \cos\frac{\pi}{3}) = -i(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3})$. В показательной форме: $-i = e^{-i\frac{\pi}{2}}$ и $\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3} = e^{i\frac{\pi}{3}}$. Тогда выражение в скобках равно $e^{-i\frac{\pi}{2}} \cdot e^{i\frac{\pi}{3}} = e^{i(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{2})} = e^{-i\frac{\pi}{6}}$.

Возводим в квадрат: $(e^{-i\frac{\pi}{6}})^2 = e^{-i\frac{2\pi}{6}} = e^{-i\frac{\pi}{3}}$.

Весь числитель: $16i \cdot e^{-i\frac{\pi}{3}} = 16e^{i\frac{\pi}{2}} \cdot e^{-i\frac{\pi}{3}} = 16e^{i(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3})} = 16e^{i\frac{\pi}{6}}$.

Теперь рассмотрим знаменатель. Пусть $z = \sqrt{3}+i$. Модуль: $|z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = 2$. Аргумент: $\arg(z) = \varphi = \arctan(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{6}$. Знаменатель: $(\sqrt{3}+i)^4 = (2e^{i\frac{\pi}{6}})^4 = 2^4 e^{i \cdot 4 \cdot \frac{\pi}{6}} = 16e^{i\frac{2\pi}{3}}$.

Вычисляем дробь:

$\frac{16e^{i\frac{\pi}{6}}}{16e^{i\frac{2\pi}{3}}} = e^{i(\frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{3})} = e^{i(\frac{\pi - 4\pi}{6})} = e^{-i\frac{3\pi}{6}} = e^{-i\frac{\pi}{2}}$.

Преобразуем результат в алгебраическую форму: $e^{-i\frac{\pi}{2}} = \cos(-\frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{2}) = 0 + i(-1) = -i$.

Ответ: $-i$.

в) $(\sqrt{3} + i)^5 + (\sqrt{3} - i)^5$

Это выражение также является суммой $z^5 + (\bar{z})^5 = 2\text{Re}(z^5)$, где $z = \sqrt{3} + i$. Из предыдущего пункта мы знаем, что $z = 2(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})$.

Возведем $z$ в 5-ю степень по формуле Муавра:

$z^5 = 2^5(\cos(5 \cdot \frac{\pi}{6}) + i\sin(5 \cdot \frac{\pi}{6})) = 32(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6})$.

Вычислим значения тригонометрических функций:

$\cos\frac{5\pi}{6} = \cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\cos\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$\sin\frac{5\pi}{6} = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$.

Тогда $z^5 = 32(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) = -16\sqrt{3} + 16i$.

Комплексно-сопряженное число $(\bar{z})^5 = \overline{z^5} = -16\sqrt{3} - 16i$.

Их сумма: $(-16\sqrt{3} + 16i) + (-16\sqrt{3} - 16i) = -32\sqrt{3}$.

Ответ: $-32\sqrt{3}$.

г) $\frac{32i(\sin\frac{\pi}{6} + i\cos\frac{\pi}{6})^2}{(\sqrt{3}-i)^5}$

Рассмотрим числитель. Преобразуем выражение в скобках: $\sin\frac{\pi}{6} + i\cos\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Представим это число в показательной форме. Модуль равен $\sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = 1$. Аргумент равен $\arctan(\frac{\sqrt{3}/2}{1/2}) = \arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.

Итак, $\sin\frac{\pi}{6} + i\cos\frac{\pi}{6} = e^{i\frac{\pi}{3}}$.

Возводим в квадрат: $(e^{i\frac{\pi}{3}})^2 = e^{i\frac{2\pi}{3}}$.

Весь числитель: $32i \cdot e^{i\frac{2\pi}{3}} = 32e^{i\frac{\pi}{2}} \cdot e^{i\frac{2\pi}{3}} = 32e^{i(\frac{\pi}{2}+\frac{2\pi}{3})} = 32e^{i\frac{7\pi}{6}}$.

Теперь рассмотрим знаменатель: $(\sqrt{3}-i)^5$. Это $(\bar{z})^5$ из пункта в).

Комплексное число $\sqrt{3}-i$ имеет модуль 2 и аргумент $-\frac{\pi}{6}$. В показательной форме: $2e^{-i\frac{\pi}{6}}$.

Возводим в степень: $(\sqrt{3}-i)^5 = (2e^{-i\frac{\pi}{6}})^5 = 2^5 e^{-i\frac{5\pi}{6}} = 32e^{-i\frac{5\pi}{6}}$.

Вычисляем дробь:

$\frac{32e^{i\frac{7\pi}{6}}}{32e^{-i\frac{5\pi}{6}}} = e^{i(\frac{7\pi}{6} - (-\frac{5\pi}{6}))} = e^{i(\frac{7\pi+5\pi}{6})} = e^{i\frac{12\pi}{6}} = e^{i2\pi}$.

Преобразуем результат в алгебраическую форму: $e^{i2\pi} = \cos(2\pi) + i\sin(2\pi) = 1 + 0i = 1$.

Ответ: $1$.