Номер 36.10, страница 207, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

36.10. a) $(\cos 10^\circ + i \sin 10^\circ)^{-9};$

б) $(\cos 10^\circ - i \sin 10^\circ)^{-3};$

В) $(\cos 10^\circ + i \sin 10^\circ)^{-12};$

Г) $(\cos 80^\circ - i \sin 80^\circ)^{-18}.$

Для решения данных задач используется формула Муавра для возведения комплексного числа в степень. Формула Муавра гласит, что для любого комплексного числа в тригонометрической форме $z = \cos \varphi + i \sin \varphi$ и любого целого числа $n$ справедливо равенство:

$z^n = (\cos \varphi + i \sin \varphi)^n = \cos(n\varphi) + i \sin(n\varphi)$

Также будем использовать свойства четности и нечетности тригонометрических функций:

$\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$

$\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$

Это позволяет нам работать с выражениями вида $\cos \varphi - i \sin \varphi$, преобразуя их к стандартному виду: $\cos \varphi - i \sin \varphi = \cos(-\varphi) + i \sin(-\varphi)$.

а) $(\cos 10^\circ + i \sin 10^\circ)^{-9}$

Применяем формулу Муавра, где $\varphi = 10^\circ$ и $n = -9$.

$(\cos 10^\circ + i \sin 10^\circ)^{-9} = \cos(-9 \cdot 10^\circ) + i \sin(-9 \cdot 10^\circ) = \cos(-90^\circ) + i \sin(-90^\circ)$

Используя свойства четности и нечетности:

$\cos(-90^\circ) = \cos(90^\circ) = 0$

$\sin(-90^\circ) = -\sin(90^\circ) = -1$

Следовательно, выражение равно $0 + i(-1) = -i$.

Ответ: $-i$

б) $(\cos 10^\circ - i \sin 10^\circ)^{-3}$

Сначала преобразуем выражение в стандартную тригонометрическую форму:

$\cos 10^\circ - i \sin 10^\circ = \cos(-10^\circ) + i \sin(-10^\circ)$

Теперь применяем формулу Муавра, где $\varphi = -10^\circ$ и $n = -3$.

$(\cos(-10^\circ) + i \sin(-10^\circ))^{-3} = \cos(-3 \cdot (-10^\circ)) + i \sin(-3 \cdot (-10^\circ)) = \cos(30^\circ) + i \sin(30^\circ)$

Находим значения косинуса и синуса:

$\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$

Таким образом, результат равен $\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$

в) $(\cos 10^\circ + i \sin 10^\circ)^{-12}$

Применяем формулу Муавра, где $\varphi = 10^\circ$ и $n = -12$.

$(\cos 10^\circ + i \sin 10^\circ)^{-12} = \cos(-12 \cdot 10^\circ) + i \sin(-12 \cdot 10^\circ) = \cos(-120^\circ) + i \sin(-120^\circ)$

Используем свойства тригонометрических функций:

$\cos(-120^\circ) = \cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}$

$\sin(-120^\circ) = -\sin(120^\circ) = -\sin(180^\circ - 60^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Получаем результат: $-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$

г) $(\cos 80^\circ - i \sin 80^\circ)^{-18}$

Преобразуем выражение в стандартную тригонометрическую форму:

$\cos 80^\circ - i \sin 80^\circ = \cos(-80^\circ) + i \sin(-80^\circ)$

Применяем формулу Муавра, где $\varphi = -80^\circ$ и $n = -18$.

$(\cos(-80^\circ) + i \sin(-80^\circ))^{-18} = \cos(-18 \cdot (-80^\circ)) + i \sin(-18 \cdot (-80^\circ)) = \cos(1440^\circ) + i \sin(1440^\circ)$

Упростим угол, учитывая, что период синуса и косинуса равен $360^\circ$:

$1440^\circ = 4 \cdot 360^\circ + 0^\circ$

Следовательно, выражение становится:

$\cos(0^\circ) + i \sin(0^\circ) = 1 + i \cdot 0 = 1$

Ответ: $1$