Номер 36.4, страница 206, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

36.4. Пусть $z = 2(\cos 0.21\pi + i \sin 0.21\pi)$. Какие числа из множества $\{z, z^2, z^3, \dots, z^9, z^{10}\}$:

а) расположены во второй координатной четверти;

б) расположены внутри круга радиуса 500 с центром в начале координат;

в) расположены в первой координатной четверти;

г) расположены правее оси ординат и вне круга радиуса 500 с центром в начале координат?

Дано комплексное число $z$ в тригонометрической форме: $z = 2(\cos(0,21\pi) + i\sin(0,21\pi))$.

Его модуль равен $r = |z| = 2$, а аргумент $\varphi = \arg(z) = 0,21\pi$.

Степени числа $z$ находятся по формуле Муавра: $z^n = r^n(\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi))$.

Для нашего случая формула имеет вид: $z^n = 2^n(\cos(n \cdot 0,21\pi) + i\sin(n \cdot 0,21\pi))$.

Модуль числа $z^n$ равен $|z^n| = 2^n$. Аргумент числа $z^n$ равен $\arg(z^n) = 0,21n\pi$.

Рассматривается множество чисел $\{z, z^2, z^3, \dots, z^9, z^{10}\}$, что соответствует натуральным значениям $n$ от 1 до 10.

а) расположены во второй координатной четверти;

Комплексное число расположено во второй координатной четверти, если его аргумент $\theta$ удовлетворяет неравенству $\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$. С учетом периодичности аргумента, для $\arg(z^n) = 0,21n\pi$ должно выполняться условие:

$\frac{\pi}{2} + 2k\pi < 0,21n\pi < \pi + 2k\pi$, где $k$ — целое число.

Сократим неравенство на $\pi$ и разделим все части на 0,21:

$\frac{0,5 + 2k}{0,21} < n < \frac{1 + 2k}{0,21}$.

Будем подставлять целые значения $k$ и находить соответствующие натуральные $n$ в диапазоне от 1 до 10.

При $k=0$:

$\frac{0,5}{0,21} < n < \frac{1}{0,21} \implies 2,38... < n < 4,76...$

Отсюда получаем целые значения $n=3$ и $n=4$.

При $k=1$:

$\frac{0,5 + 2}{0,21} < n < \frac{1 + 2}{0,21} \implies \frac{2,5}{0,21} < n < \frac{3}{0,21} \implies 11,9... < n < 14,2...$

В этом интервале нет целых $n$ от 1 до 10. Дальнейшие значения $k$ также не дадут решений в нужном диапазоне.

Таким образом, во второй четверти расположены числа $z^3$ и $z^4$.

Ответ: $z^3, z^4$.

б) расположены внутри круга радиуса 500 с центром в начале координат;

Комплексное число находится внутри круга радиуса 500, если его модуль меньше 500. Модуль числа $z^n$ равен $|z^n| = 2^n$. Решим неравенство:

$2^n < 500$ для $n \in \{1, 2, ..., 10\}$.

Вычислим степени двойки:

$2^1 = 2 < 500$

$2^2 = 4 < 500$

$2^3 = 8 < 500$

$2^4 = 16 < 500$

$2^5 = 32 < 500$

$2^6 = 64 < 500$

$2^7 = 128 < 500$

$2^8 = 256 < 500$

$2^9 = 512 > 500$

$2^{10} = 1024 > 500$

Неравенство выполняется для $n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$.

Ответ: $z, z^2, z^3, z^4, z^5, z^6, z^7, z^8$.

в) расположены в первой координатной четверти;

Комплексное число расположено в первой координатной четверти, если его аргумент $\theta$ удовлетворяет неравенству $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$. С учетом периодичности, для $\arg(z^n) = 0,21n\pi$ должно выполняться условие:

$2k\pi < 0,21n\pi < \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, где $k$ — целое число.

Разделив на $0,21\pi$, получим:

$\frac{2k}{0,21} < n < \frac{0,5 + 2k}{0,21}$.

При $k=0$:

$0 < n < \frac{0,5}{0,21} \implies 0 < n < 2,38...$

Целые значения $n$: $1, 2$.

При $k=1$:

$\frac{2}{0,21} < n < \frac{2,5}{0,21} \implies 9,52... < n < 11,9...$

Целое значение $n$: $10$.

При $k=2$ и более, значения $n$ будут выходить за пределы диапазона от 1 до 10.

Таким образом, в первой четверти расположены числа, для которых $n \in \{1, 2, 10\}$.

Ответ: $z, z^2, z^{10}$.

г) расположены правее оси ординат и вне круга радиуса 500 с центром в начале координат?

Необходимо выполнение двух условий одновременно.

1. Расположение правее оси ординат. Это означает, что число находится в первой или четвертой координатной четверти, то есть его аргумент $\theta$ удовлетворяет неравенству $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$. С учетом периодичности:

$-\frac{\pi}{2} + 2k\pi < 0,21n\pi < \frac{\pi}{2} + 2k\pi \implies \frac{-0,5 + 2k}{0,21} < n < \frac{0,5 + 2k}{0,21}$.

При $k=0$: $\frac{-0,5}{0,21} < n < \frac{0,5}{0,21} \implies -2,38... < n < 2,38...$. Целые $n \in \{1, ..., 10\}$: $1, 2$.

При $k=1$: $\frac{1,5}{0,21} < n < \frac{2,5}{0,21} \implies 7,14... < n < 11,9...$. Целые $n \in \{1, ..., 10\}$: $8, 9, 10$.

При $k=2$ и более, решения будут вне диапазона $n$.

Итак, первому условию удовлетворяют $n \in \{1, 2, 8, 9, 10\}$.

2. Расположение вне круга радиуса 500. Модуль числа должен быть больше 500:

$|z^n| > 500 \implies 2^n > 500$.

Как мы выяснили в пункте б), это неравенство выполняется для $n=9$ и $n=10$.

Для выполнения обоих условий найдем пересечение полученных множеств значений $n$: $\{1, 2, 8, 9, 10\} \cap \{9, 10\} = \{9, 10\}$.

Следовательно, оба условия выполняются для чисел $z^9$ и $z^{10}$.

Ответ: $z^9, z^{10}$.