Номер 36.5, страница 206, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

36.5. Пусть $z = \cos 0,17\pi + i \sin 0,17\pi$. Какие числа из множества $\{z, z^2, z^3, \dots, z^9, z^{10}\}$:

а) расположены выше оси абсцисс;

б) расположены правее оси ординат;

в) расположены выше биссектрисы первой и третьей координатной четвертей;

г) расположены ниже биссектрисы второй и четвёртой координатной четвертей?

Данное комплексное число $z = \cos(0,17\pi) + i \sin(0,17\pi)$ представлено в тригонометрической форме. Его модуль $|z|=1$, а аргумент $\arg(z) = 0,17\pi$.Мы рассматриваем множество чисел $\{z, z^2, z^3, \ldots, z^{10}\}$.По формуле Муавра, для любого натурального числа $k$ имеем:$z^k = (\cos(0,17\pi) + i \sin(0,17\pi))^k = \cos(0,17k\pi) + i \sin(0,17k\pi)$.Таким образом, для каждого числа $z^k$ из множества, его модуль $|z^k|=1$, а аргумент $\arg(z^k) = 0,17k\pi$. Все эти числа лежат на единичной окружности в комплексной плоскости.Положение числа $z^k = x_k + iy_k$ на комплексной плоскости определяется его аргументом $\theta_k = 0,17k\pi$.$x_k = \cos(\theta_k) = \cos(0,17k\pi)$$y_k = \sin(\theta_k) = \sin(0,17k\pi)$

Число расположено выше оси абсцисс (оси Re), если его мнимая часть положительна, то есть $y_k > 0$.$Im(z^k) = \sin(0,17k\pi) > 0$.Синус положителен для углов в первой и второй координатных четвертях, то есть когда $0 < \arg(z^k) < \pi$ (с точностью до периода $2\pi$).Ищем такие целые $k \in \{1, 2, \ldots, 10\}$, для которых выполняется неравенство:$0 < 0,17k\pi < \pi$Разделим все части на $\pi$:$0 < 0,17k < 1$Разделим на $0,17$:$0 < k < \frac{1}{0,17} \approx 5,88$Целые значения $k$, удовлетворяющие этому условию: $1, 2, 3, 4, 5$.

Ответ: $z, z^2, z^3, z^4, z^5$.

Число расположено правее оси ординат (оси Im), если его действительная часть положительна, то есть $x_k > 0$.$Re(z^k) = \cos(0,17k\pi) > 0$.Косинус положителен для углов в первой и четвертой координатных четвертях, то есть когда $-\frac{\pi}{2} < \arg(z^k) < \frac{\pi}{2}$ (с точностью до периода $2\pi$).Ищем такие целые $k \in \{1, 2, \ldots, 10\}$, для которых выполняется:$2m\pi - \frac{\pi}{2} < 0,17k\pi < 2m\pi + \frac{\pi}{2}$ для некоторого целого $m$.При $m=0$:$-\frac{\pi}{2} < 0,17k\pi < \frac{\pi}{2} \implies -0,5 < 0,17k < 0,5 \implies -\frac{0,5}{0,17} < k < \frac{0,5}{0,17} \implies -2,94 \approx -\frac{0,5}{0,17} < k < \frac{0,5}{0,17} \approx 2,94$.Так как $k \ge 1$, получаем $k = 1, 2$.При $m=1$:$2\pi - \frac{\pi}{2} < 0,17k\pi < 2\pi + \frac{\pi}{2} \implies 1,5\pi < 0,17k\pi < 2,5\pi \implies 1,5 < 0,17k < 2,5 \implies \frac{1,5}{0,17} < k < \frac{2,5}{0,17} \implies 8,82 \approx \frac{1,5}{0,17} < k < \frac{2,5}{0,17} \approx 14,7$.Целые значения $k$ из нашего диапазона: $9, 10$.

Ответ: $z, z^2, z^9, z^{10}$.

Биссектриса первой и третьей четвертей задается уравнением $y=x$. Условие "выше биссектрисы" означает $y_k > x_k$.$Im(z^k) > Re(z^k) \implies \sin(0,17k\pi) > \cos(0,17k\pi)$.Это неравенство выполняется для углов, лежащих в интервале $(\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4})$ (с точностью до периода $2\pi$).Ищем такие целые $k \in \{1, 2, \ldots, 10\}$, для которых:$\frac{\pi}{4} < 0,17k\pi < \frac{5\pi}{4}$Разделим на $\pi$:$0,25 < 0,17k < 1,25$Разделим на $0,17$:$\frac{0,25}{0,17} < k < \frac{1,25}{0,17} \implies 1,47 \approx \frac{0,25}{0,17} < k < \frac{1,25}{0,17} \approx 7,35$.Целые значения $k$, удовлетворяющие этому условию: $2, 3, 4, 5, 6, 7$.

Ответ: $z^2, z^3, z^4, z^5, z^6, z^7$.

Биссектриса второй и четвёртой четвертей задается уравнением $y=-x$. Условие "ниже биссектрисы" означает $y_k < -x_k$.$Im(z^k) < -Re(z^k) \implies \sin(0,17k\pi) < -\cos(0,17k\pi) \implies \sin(0,17k\pi) + \cos(0,17k\pi) < 0$.Это неравенство выполняется для углов, лежащих в интервале $(\frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4})$ (с точностью до периода $2\pi$).Ищем такие целые $k \in \{1, 2, \ldots, 10\}$, для которых:$\frac{3\pi}{4} < 0,17k\pi < \frac{7\pi}{4}$Разделим на $\pi$:$0,75 < 0,17k < 1,75$Разделим на $0,17$:$\frac{0,75}{0,17} < k < \frac{1,75}{0,17} \implies 4,41 \approx \frac{0,75}{0,17} < k < \frac{1,75}{0,17} \approx 10,29$.Целые значения $k$, удовлетворяющие этому условию: $5, 6, 7, 8, 9, 10$.

Ответ: $z^5, z^6, z^7, z^8, z^9, z^{10}$.