Номер 36.2, страница 206, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

36.2. Пусть $z = 3 (\cos 0,3\pi + i \sin 0,3\pi)$. Верно ли, что:

а) $z^6$ принадлежит первой координатной четверти;

б) $z^6$ принадлежит четвёртой координатной четверти, а его модуль больше 1000;

в) $z^6$ принадлежит четвёртой координатной четверти, а его модуль меньше 750;

г) $z^{16}$ принадлежит второй координатной четверти?

Исходное комплексное число задано в тригонометрической форме: $z = r(\cos\varphi + i \sin\varphi)$, где его модуль $r = 3$, а его аргумент $\varphi = 0,3\pi$.

Для возведения комплексного числа в степень $n$ используется формула Муавра:$z^n = r^n(\cos(n\varphi) + i \sin(n\varphi))$.При этом модуль нового числа равен $|z^n| = r^n$, а его аргумент равен $\arg(z^n) = n\varphi$.

Координатная четверть, которой принадлежит комплексное число, определяется его аргументом $\theta$ (обычно приведенным к интервалу $[0, 2\pi)$):

• I четверть: $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$
• II четверть: $\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$
• III четверть: $\pi < \theta < \frac{3\pi}{2}$
• IV четверть: $\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$

а) z? принадлежит первой координатной четверти;

Найдем $z^6$ по формуле Муавра, где $n=6$.Модуль: $|z^6| = 3^6 = 729$.Аргумент: $\arg(z^6) = 6 \cdot 0,3\pi = 1,8\pi$.Таким образом, $z^6 = 729(\cos(1,8\pi) + i \sin(1,8\pi))$.Сравним аргумент $1,8\pi$ с границами четвертей: $1,5\pi < 1,8\pi < 2\pi$.Это означает, что число $z^6$ находится в IV координатной четверти.Следовательно, данное утверждение неверно.

Ответ: неверно.

б) z? принадлежит четвёртой координатной четверти, а его модуль больше 1000;

Из пункта а) мы уже знаем, что $z^6$ принадлежит IV координатной четверти, так как его аргумент равен $1,8\pi$. Эта часть утверждения верна.Модуль $z^6$ равен $3^6 = 729$.Проверим вторую часть утверждения: "его модуль больше 1000". Неравенство $729 > 1000$ является ложным.Так как одна из частей утверждения ложна, всё утверждение неверно.

Ответ: неверно.

в) z? принадлежит четвёртой координатной четверти, а его модуль меньше 750;

Как мы установили ранее, $z^6$ принадлежит IV координатной четверти, и его модуль равен $729$.Первая часть утверждения верна.Проверим вторую часть: "его модуль меньше 750". Неравенство $729 < 750$ является истинным.Поскольку обе части утверждения верны, всё утверждение верно.

Ответ: верно.

г) z?? принадлежит второй координатной четверти?

Найдем $z^{16}$ по формуле Муавра, где $n=16$.Аргумент: $\arg(z^{16}) = 16 \cdot 0,3\pi = 4,8\pi$.Чтобы определить четверть, найдем эквивалентный угол в промежутке $[0, 2\pi)$, вычитая полные обороты ($2\pi$):$4,8\pi - 2 \cdot 2\pi = 4,8\pi - 4\pi = 0,8\pi$.Сравним полученный аргумент $0,8\pi$ с границами четвертей: $\frac{\pi}{2} < 0,8\pi < \pi$ (поскольку $0,5\pi < 0,8\pi < 1\pi$).Это соответствует II координатной четверти.Следовательно, данное утверждение верно.

Ответ: верно.