Номер 35.16, страница 205, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

35.16. Изобразите на комплексной плоскости множество $\sqrt{z}$, если:

а) $|z| = 1, 0 \leqslant \arg(z) \leqslant \frac{\pi}{2}$;

в) $|z| = 1, -\frac{2\pi}{3} \leqslant \arg(z) \leqslant 0$;

б) $|z| = 1, 0 < \arg(z) < \pi;$

г) $|z| = 1, -\frac{\pi}{4} \leqslant \arg(z) \leqslant \pi$.

Для решения задачи представим комплексное число $z$ в тригонометрической (показательной) форме: $z = r(\cos \phi + i \sin \phi) = re^{i\phi}$, где $r = |z|$ — модуль числа, а $\phi = \arg(z)$ — его аргумент.Корень квадратный из комплексного числа $z$ имеет два значения, которые находятся по формуле Муавра:$w_k = \sqrt[2]{z} = \sqrt{r} \left( \cos\frac{\phi + 2\pi k}{2} + i \sin\frac{\phi + 2\pi k}{2} \right) = \sqrt{r} e^{i(\frac{\phi}{2} + \pi k)}$, где $k = 0, 1$.Таким образом, для каждого числа $z$ из заданного множества мы получим два числа $w_0$ и $w_1$, которые и образуют искомое множество $\sqrt{z}$. Эти два числа симметричны относительно начала координат ($w_1 = -w_0$).Из формулы следует, что модуль нового числа $|w_k| = \sqrt{|z|}$, а его аргументы равны $\arg(w_0) = \frac{\arg(z)}{2}$ и $\arg(w_1) = \frac{\arg(z)}{2} + \pi$.Во всех вариантах задачи дано, что $|z|=1$, следовательно, для искомого множества точек $w$ будет выполняться $|w| = \sqrt{1} = 1$. Это означает, что все искомые точки лежат на единичной окружности с центром в начале координат.

а) Задано множество точек $z$, для которых $|z|=1$ и $0 \le \arg(z) \le \frac{\pi}{2}$. Это дуга единичной окружности в первом квадранте, включая концы. Пусть $\phi = \arg(z)$, тогда $0 \le \phi \le \frac{\pi}{2}$. Аргументы $\theta = \arg(w)$ для точек искомого множества $w = \sqrt{z}$ будут находиться в двух диапазонах:

1. Для $k=0$: $\theta_0 = \frac{\phi}{2}$. Так как $0 \le \phi \le \frac{\pi}{2}$, то $0 \le \theta_0 \le \frac{\pi}{4}$. Это дуга единичной окружности от точки $w=1$ (при $\phi=0$) до точки $w=e^{i\pi/4} = \cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$ (при $\phi=\frac{\pi}{2}$).

2. Для $k=1$: $\theta_1 = \frac{\phi}{2} + \pi$. Так как $0 \le \phi \le \frac{\pi}{2}$, то $\pi \le \theta_1 \le \frac{\pi}{2 \cdot 2} + \pi = \frac{5\pi}{4}$. Это дуга единичной окружности от точки $w=-1$ (при $\phi=0$) до точки $w=e^{i5\pi/4} = \cos(\frac{5\pi}{4}) + i\sin(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$ (при $\phi=\frac{\pi}{2}$).

Искомое множество — это объединение этих двух замкнутых дуг.

Ответ: Объединение двух дуг единичной окружности, включая концы: дуги от $1$ до $e^{i\pi/4}$ и дуги от $-1$ до $e^{i5\pi/4}$.

б) Задано множество точек $z$, для которых $|z|=1$ и $0 < \arg(z) < \pi$. Это верхняя полуокружность единичной окружности без концов. Пусть $\phi = \arg(z)$, тогда $0 < \phi < \pi$. Аргументы $\theta = \arg(w)$ для точек искомого множества $w = \sqrt{z}$ будут находиться в двух диапазонах:

1. Для $k=0$: $\theta_0 = \frac{\phi}{2}$. Так как $0 < \phi < \pi$, то $0 < \theta_0 < \frac{\pi}{2}$. Это дуга единичной окружности в первом квадранте, не включая концы $w=1$ и $w=i$.

2. Для $k=1$: $\theta_1 = \frac{\phi}{2} + \pi$. Так как $0 < \phi < \pi$, то $\pi < \theta_1 < \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}$. Это дуга единичной окружности в третьем квадранте, не включая концы $w=-1$ и $w=-i$.

Искомое множество — это объединение этих двух открытых дуг.

Ответ: Объединение двух дуг единичной окружности, не включающих концы: дуги в первом квадранте (между $1$ и $i$) и дуги в третьем квадранте (между $-1$ и $-i$).

в) Задано множество точек $z$, для которых $|z|=1$ и $-\frac{2\pi}{3} \le \arg(z) \le 0$. Это дуга единичной окружности в четвертом квадранте, включая концы. Пусть $\phi = \arg(z)$, тогда $-\frac{2\pi}{3} \le \phi \le 0$. Аргументы $\theta = \arg(w)$ для точек искомого множества $w = \sqrt{z}$ будут находиться в двух диапазонах:

1. Для $k=0$: $\theta_0 = \frac{\phi}{2}$. Так как $-\frac{2\pi}{3} \le \phi \le 0$, то $-\frac{\pi}{3} \le \theta_0 \le 0$. Это дуга единичной окружности в четвертом квадранте от точки $w=e^{-i\pi/3} = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$ до точки $w=1$.

2. Для $k=1$: $\theta_1 = \frac{\phi}{2} + \pi$. Так как $-\frac{2\pi}{3} \le \phi \le 0$, то $-\frac{\pi}{3} + \pi \le \theta_1 \le \pi$, то есть $\frac{2\pi}{3} \le \theta_1 \le \pi$. Это дуга единичной окружности во втором квадранте от точки $w=e^{i2\pi/3} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ до точки $w=-1$.

Искомое множество — это объединение этих двух замкнутых дуг.

Ответ: Объединение двух дуг единичной окружности, включая концы: дуги от $e^{-i\pi/3}$ до $1$ и дуги от $e^{i2\pi/3}$ до $-1$.

г) Задано множество точек $z$, для которых $|z|=1$ и $-\frac{\pi}{4} \le \arg(z) \le \pi$. Это дуга единичной окружности, идущая от угла $-\frac{\pi}{4}$ до угла $\pi$. Пусть $\phi = \arg(z)$, тогда $-\frac{\pi}{4} \le \phi \le \pi$. Аргументы $\theta = \arg(w)$ для точек искомого множества $w = \sqrt{z}$ будут находиться в двух диапазонах:

1. Для $k=0$: $\theta_0 = \frac{\phi}{2}$. Так как $-\frac{\pi}{4} \le \phi \le \pi$, то $-\frac{\pi}{8} \le \theta_0 \le \frac{\pi}{2}$. Это дуга единичной окружности от точки $w=e^{-i\pi/8}$ до точки $w=e^{i\pi/2}=i$.

2. Для $k=1$: $\theta_1 = \frac{\phi}{2} + \pi$. Так как $-\frac{\pi}{4} \le \phi \le \pi$, то $-\frac{\pi}{8} + \pi \le \theta_1 \le \frac{\pi}{2} + \pi$, то есть $\frac{7\pi}{8} \le \theta_1 \le \frac{3\pi}{2}$. Это дуга единичной окружности от точки $w=e^{i7\pi/8}$ до точки $w=e^{i3\pi/2}=-i$.

Искомое множество — это объединение этих двух замкнутых дуг.

Ответ: Объединение двух дуг единичной окружности, включая концы: дуги от $e^{-i\pi/8}$ до $i$ и дуги от $e^{i7\pi/8}$ до $-i$.