Номер 35.14, страница 205, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

35.14. Изобразите на комплексной плоскости число $z$ и множество $\sqrt{z}$, если:

а) $|z| = 1, \arg(z) = \frac{\pi}{2}$;

б) $|z| = 4, \arg(z) = -\frac{\pi}{2}$;

в) $|z| = 9, \arg(z) = \frac{\pi}{3}$;

г) $|z| = 0,25, \arg(z) = -\frac{2\pi}{3}$.

Для решения задачи воспользуемся тригонометрической формой комплексного числа $z = |z|(\cos(\phi) + i\sin(\phi))$, где $|z|$ — модуль числа, а $\phi = \arg(z)$ — его аргумент. Корни n-ой степени из комплексного числа находятся по формуле Муавра: $w_k = \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{|z|} \left( \cos\left(\frac{\phi + 2\pi k}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\phi + 2\pi k}{n}\right) \right)$, где $k = 0, 1, \dots, n-1$. В нашем случае мы ищем квадратные корни, поэтому $n=2$ и $k=0, 1$. Это означает, что для каждого числа $z$ существует два квадратных корня, $w_0$ и $w_1$. Эти корни всегда симметричны относительно начала координат.

Дано: $|z| = 1$, $\arg(z) = \frac{\pi}{2}$.

Нахождение и изображение числа $z$.

Представим число $z$ в алгебраической форме: $z = 1 \cdot (\cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2})) = 1 \cdot (0 + i \cdot 1) = i$. На комплексной плоскости это точка с координатами $(0, 1)$, расположенная на положительной мнимой полуоси.

Нахождение и изображение множества $\sqrt{z}$.

Модуль корней: $|\sqrt{z}| = \sqrt{|z|} = \sqrt{1} = 1$. Аргументы корней: $\psi_k = \frac{\arg(z) + 2\pi k}{2} = \frac{\pi/2 + 2\pi k}{2}$ для $k=0, 1$.

При $k=0$: $\psi_0 = \frac{\pi/2}{2} = \frac{\pi}{4}$. $w_0 = 1 \cdot (\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4})) = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это точка с координатами $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$, расположенная в первом квадранте.

При $k=1$: $\psi_1 = \frac{\pi/2 + 2\pi}{2} = \frac{5\pi/2}{2} = \frac{5\pi}{4}$. $w_1 = 1 \cdot (\cos(\frac{5\pi}{4}) + i\sin(\frac{5\pi}{4})) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это точка с координатами $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$, расположенная в третьем квадранте.

Точки $w_0$ и $w_1$ лежат на окружности радиуса 1 с центром в начале координат.

Ответ: Число $z=i$ изображается точкой $(0, 1)$. Множество $\sqrt{z}$ состоит из двух чисел: $w_0 = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$ (точка $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$) и $w_1 = -\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$ (точка $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$).

Дано: $|z| = 4$, $\arg(z) = -\frac{\pi}{2}$.

Нахождение и изображение числа $z$.

$z = 4 \cdot (\cos(-\frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{2})) = 4 \cdot (0 - i \cdot 1) = -4i$. На комплексной плоскости это точка с координатами $(0, -4)$, расположенная на отрицательной мнимой полуоси.

Нахождение и изображение множества $\sqrt{z}$.

Модуль корней: $|\sqrt{z}| = \sqrt{|z|} = \sqrt{4} = 2$. Аргументы корней: $\psi_k = \frac{-\pi/2 + 2\pi k}{2}$ для $k=0, 1$.

При $k=0$: $\psi_0 = \frac{-\pi/2}{2} = -\frac{\pi}{4}$. $w_0 = 2 \cdot (\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4})) = 2(\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} - i\sqrt{2}$. Это точка с координатами $(\sqrt{2}, -\sqrt{2})$, расположенная в четвертом квадранте.

При $k=1$: $\psi_1 = \frac{-\pi/2 + 2\pi}{2} = \frac{3\pi/2}{2} = \frac{3\pi}{4}$. $w_1 = 2 \cdot (\cos(\frac{3\pi}{4}) + i\sin(\frac{3\pi}{4})) = 2(-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\sqrt{2} + i\sqrt{2}$. Это точка с координатами $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$, расположенная во втором квадранте.

Точки $w_0$ и $w_1$ лежат на окружности радиуса 2 с центром в начале координат.

Ответ: Число $z=-4i$ изображается точкой $(0, -4)$. Множество $\sqrt{z}$ состоит из двух чисел: $w_0 = \sqrt{2} - i\sqrt{2}$ (точка $(\sqrt{2}, -\sqrt{2})$) и $w_1 = -\sqrt{2} + i\sqrt{2}$ (точка $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$).

Дано: $|z| = 9$, $\arg(z) = \frac{\pi}{3}$.

Нахождение и изображение числа $z$.

$z = 9 \cdot (\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3})) = 9(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{9}{2} + i\frac{9\sqrt{3}}{2}$. На комплексной плоскости это точка с координатами $(\frac{9}{2}, \frac{9\sqrt{3}}{2})$, расположенная в первом квадранте.

Нахождение и изображение множества $\sqrt{z}$.

Модуль корней: $|\sqrt{z}| = \sqrt{|z|} = \sqrt{9} = 3$. Аргументы корней: $\psi_k = \frac{\pi/3 + 2\pi k}{2}$ для $k=0, 1$.

При $k=0$: $\psi_0 = \frac{\pi/3}{2} = \frac{\pi}{6}$. $w_0 = 3 \cdot (\cos(\frac{\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6})) = 3(\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) = \frac{3\sqrt{3}}{2} + i\frac{3}{2}$. Это точка с координатами $(\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2})$, расположенная в первом квадранте.

При $k=1$: $\psi_1 = \frac{\pi/3 + 2\pi}{2} = \frac{7\pi/3}{2} = \frac{7\pi}{6}$. $w_1 = 3 \cdot (\cos(\frac{7\pi}{6}) + i\sin(\frac{7\pi}{6})) = 3(-\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}) = -\frac{3\sqrt{3}}{2} - i\frac{3}{2}$. Это точка с координатами $(-\frac{3\sqrt{3}}{2}, -\frac{3}{2})$, расположенная в третьем квадранте.

Точки $w_0$ и $w_1$ лежат на окружности радиуса 3 с центром в начале координат.

Ответ: Число $z = \frac{9}{2} + i\frac{9\sqrt{3}}{2}$ изображается точкой $(\frac{9}{2}, \frac{9\sqrt{3}}{2})$. Множество $\sqrt{z}$ состоит из двух чисел: $w_0 = \frac{3\sqrt{3}}{2} + i\frac{3}{2}$ (точка $(\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2})$) и $w_1 = -\frac{3\sqrt{3}}{2} - i\frac{3}{2}$ (точка $(-\frac{3\sqrt{3}}{2}, -\frac{3}{2})$).

Дано: $|z| = 0.25$, $\arg(z) = -\frac{2\pi}{3}$.

Нахождение и изображение числа $z$.

$z = 0.25 \cdot (\cos(-\frac{2\pi}{3}) + i\sin(-\frac{2\pi}{3})) = \frac{1}{4}(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{1}{8} - i\frac{\sqrt{3}}{8}$. На комплексной плоскости это точка с координатами $(-\frac{1}{8}, -\frac{\sqrt{3}}{8})$, расположенная в третьем квадранте.

Нахождение и изображение множества $\sqrt{z}$.

Модуль корней: $|\sqrt{z}| = \sqrt{|z|} = \sqrt{0.25} = 0.5 = \frac{1}{2}$. Аргументы корней: $\psi_k = \frac{-2\pi/3 + 2\pi k}{2}$ для $k=0, 1$.

При $k=0$: $\psi_0 = \frac{-2\pi/3}{2} = -\frac{\pi}{3}$. $w_0 = 0.5 \cdot (\cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3})) = \frac{1}{2}(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{3}}{4}$. Это точка с координатами $(\frac{1}{4}, -\frac{\sqrt{3}}{4})$, расположенная в четвертом квадранте.

При $k=1$: $\psi_1 = \frac{-2\pi/3 + 2\pi}{2} = \frac{4\pi/3}{2} = \frac{2\pi}{3}$. $w_1 = 0.5 \cdot (\cos(\frac{2\pi}{3}) + i\sin(\frac{2\pi}{3})) = \frac{1}{2}(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{3}}{4}$. Это точка с координатами $(-\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4})$, расположенная во втором квадранте.

Точки $w_0$ и $w_1$ лежат на окружности радиуса 0.5 с центром в начале координат.

Ответ: Число $z = -\frac{1}{8} - i\frac{\sqrt{3}}{8}$ изображается точкой $(-\frac{1}{8}, -\frac{\sqrt{3}}{8})$. Множество $\sqrt{z}$ состоит из двух чисел: $w_0 = \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{3}}{4}$ (точка $(\frac{1}{4}, -\frac{\sqrt{3}}{4})$) и $w_1 = -\frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{3}}{4}$ (точка $(-\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4})$).