Номер 35.8, страница 204, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

35.8. a) $z^2 - z + 2,5 = 0;$

б) $z^2 + 3z + 8,5 = 0;$

В) $z^2 - 5z + 6,5 = 0;$

Г) $z^2 + 11z + 36,5 = 0.$

а) $z^2 - z + 2,5 = 0$

Для решения данного квадратного уравнения воспользуемся стандартной формулой для нахождения корней $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

В данном уравнении коэффициенты равны: $a = 1$, $b = -1$, $c = 2,5$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2,5 = 1 - 10 = -9$

Так как дискриминант отрицательный, корни уравнения будут комплексными. Корень из дискриминанта равен $\sqrt{D} = \sqrt{-9} = \sqrt{9 \cdot (-1)} = 3i$, где $i$ — мнимая единица ($i^2 = -1$).

Подставим значения в формулу для корней:

$z_{1,2} = \frac{-(-1) \pm 3i}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 3i}{2}$

Таким образом, получаем два корня:

$z_1 = \frac{1}{2} + \frac{3}{2}i = 0,5 + 1,5i$

$z_2 = \frac{1}{2} - \frac{3}{2}i = 0,5 - 1,5i$

Ответ: $z_1 = 0,5 + 1,5i$, $z_2 = 0,5 - 1,5i$.

б) $z^2 + 3z + 8,5 = 0$

Решаем квадратное уравнение с коэффициентами $a = 1$, $b = 3$, $c = 8,5$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8,5 = 9 - 34 = -25$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{-25} = \sqrt{25 \cdot (-1)} = 5i$.

Найдем корни уравнения по формуле $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$z_{1,2} = \frac{-3 \pm 5i}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm 5i}{2}$

Корни уравнения:

$z_1 = -\frac{3}{2} + \frac{5}{2}i = -1,5 + 2,5i$

$z_2 = -\frac{3}{2} - \frac{5}{2}i = -1,5 - 2,5i$

Ответ: $z_1 = -1,5 + 2,5i$, $z_2 = -1,5 - 2,5i$.

в) $z^2 - 5z + 6,5 = 0$

Решаем квадратное уравнение с коэффициентами $a = 1$, $b = -5$, $c = 6,5$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6,5 = 25 - 26 = -1$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{-1} = i$.

Найдем корни уравнения по формуле $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$z_{1,2} = \frac{-(-5) \pm i}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm i}{2}$

Корни уравнения:

$z_1 = \frac{5}{2} + \frac{1}{2}i = 2,5 + 0,5i$

$z_2 = \frac{5}{2} - \frac{1}{2}i = 2,5 - 0,5i$

Ответ: $z_1 = 2,5 + 0,5i$, $z_2 = 2,5 - 0,5i$.

г) $z^2 + 11z + 36,5 = 0$

Решаем квадратное уравнение с коэффициентами $a = 1$, $b = 11$, $c = 36,5$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36,5 = 121 - 146 = -25$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{-25} = \sqrt{25 \cdot (-1)} = 5i$.

Найдем корни уравнения по формуле $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$z_{1,2} = \frac{-11 \pm 5i}{2 \cdot 1} = \frac{-11 \pm 5i}{2}$

Корни уравнения:

$z_1 = -\frac{11}{2} + \frac{5}{2}i = -5,5 + 2,5i$

$z_2 = -\frac{11}{2} - \frac{5}{2}i = -5,5 - 2,5i$

Ответ: $z_1 = -5,5 + 2,5i$, $z_2 = -5,5 - 2,5i$.