Номер 35.1, страница 203, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

35.1. Найдите все действительные значения параметра $a$, при которых уравнение $x^2 - 4x + a = 0$:

а) имеет только один корень;

б) имеет два действительных корня;

в) не имеет действительных корней;

г) имеет два действительных корня разных знаков.

Данное уравнение $x^2 - 4x + a = 0$ является квадратным. Количество его действительных корней зависит от знака дискриминанта $D$. Вычислим дискриминант для этого уравнения: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot a = 16 - 4a$.

а) имеет только один корень;

Квадратное уравнение имеет только один действительный корень (или два совпадающих корня), когда его дискриминант равен нулю.
$D = 0$
$16 - 4a = 0$
$4a = 16$
$a = 4$
Ответ: $a = 4$.

б) имеет два действительных корня;

Квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, когда его дискриминант больше нуля.
$D > 0$
$16 - 4a > 0$
$16 > 4a$
$a < 4$
Ответ: $a < 4$.

в) не имеет действительных корней;

Квадратное уравнение не имеет действительных корней, когда его дискриминант меньше нуля.
$D < 0$
$16 - 4a < 0$
$16 < 4a$
$a > 4$
Ответ: $a > 4$.

г) имеет два действительных корня разных знаков.

Для того чтобы уравнение имело два действительных корня разных знаков, должны одновременно выполняться два условия:
1. Уравнение должно иметь два различных действительных корня, что означает $D > 0$. Из пункта б) мы знаем, что это условие выполняется при $a < 4$.
2. Корни $x_1$ и $x_2$ должны иметь разные знаки. Это значит, что их произведение должно быть отрицательным: $x_1 \cdot x_2 < 0$.
Согласно теореме Виета, для приведенного квадратного уравнения $x^2 - 4x + a = 0$ произведение корней равно свободному члену: $x_1 \cdot x_2 = a$.
Таким образом, второе условие записывается как $a < 0$.
Теперь объединим оба условия в систему неравенств:
$\begin{cases} a < 4 \\ a < 0 \end{cases}$
Решением этой системы является пересечение промежутков, то есть $a < 0$.
Ответ: $a < 0$.