Номер 34.41, страница 203, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

34.41. a) Среди корней $z$ уравнения $\sqrt{3}(z + \bar{z})(z - \bar{z}) = 4i^9$ найдите число, аргумент которого равен $\frac{\pi}{6}$.

б) Среди корней $z$ уравнения $\text{Re } z \cdot \text{Im } \bar{z} = \frac{\sqrt{3}}{i^6}$ найдите число, аргумент которого равен $\frac{\pi}{3}$.

а)

Представим комплексное число $z$ в алгебраической форме $z = x + iy$, где $x$ и $y$ — действительные числа. Тогда комплексно-сопряженное число равно $\bar{z} = x - iy$.

Выразим множители в левой части уравнения через $x$ и $y$:
$z + \bar{z} = (x + iy) + (x - iy) = 2x$
$z - \bar{z} = (x + iy) - (x - iy) = 2iy$

Упростим правую часть уравнения. Вычислим степень мнимой единицы $i$:
$i^9 = i^{4 \cdot 2 + 1} = (i^4)^2 \cdot i^1 = 1^2 \cdot i = i$.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:
$\sqrt{3}(2x)(2iy) = 4i$
$4\sqrt{3}ixy = 4i$
Разделив обе части на $4i$ (что возможно, так как $4i \ne 0$), получим первое уравнение для $x$ и $y$:
$\sqrt{3}xy = 1$, или $xy = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

По условию, аргумент искомого числа равен $\arg(z) = \frac{\pi}{6}$. Для комплексного числа $z = x + iy$ тангенс его аргумента $\phi$ равен отношению мнимой части к действительной: $\tan(\phi) = \frac{y}{x}$.
Получаем второе уравнение:
$\frac{y}{x} = \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, откуда $y = \frac{x}{\sqrt{3}}$.

Теперь решим систему из двух уравнений:
1) $xy = \frac{1}{\sqrt{3}}$
2) $y = \frac{x}{\sqrt{3}}$
Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:
$x\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$\frac{x^2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$x^2 = 1$, откуда $x=1$ или $x=-1$.

Поскольку аргумент числа равен $\frac{\pi}{6}$, оно находится в первой координатной четверти, где $x > 0$ и $y > 0$. Следовательно, мы выбираем $x=1$.
Тогда $y = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Таким образом, искомое комплексное число $z = x+iy = 1 + i\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $z = 1 + i\frac{\sqrt{3}}{3}$

б)

Рассмотрим уравнение $\text{Re} z \cdot \text{Im} \bar{z} = \frac{\sqrt{3}}{i^6}$.
Пусть $z = x + iy$. Тогда действительная часть $z$ равна $\text{Re} z = x$.
Комплексно-сопряженное число $\bar{z} = x - iy$, его мнимая часть равна $\text{Im} \bar{z} = -y$.

Левая часть уравнения принимает вид:
$\text{Re} z \cdot \text{Im} \bar{z} = x \cdot (-y) = -xy$.

Упростим правую часть. Вычислим $i^6 = i^{4+2} = i^4 \cdot i^2 = 1 \cdot (-1) = -1$.
Тогда правая часть равна $\frac{\sqrt{3}}{-1} = -\sqrt{3}$.

Приравнивая левую и правую части, получаем уравнение:
$-xy = -\sqrt{3}$, что равносильно $xy = \sqrt{3}$.

По условию, аргумент искомого числа равен $\arg(z) = \frac{\pi}{3}$.
Используя соотношение $\tan(\arg z) = \frac{y}{x}$, получаем:
$\frac{y}{x} = \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$, откуда $y = x\sqrt{3}$.

Решим систему уравнений:
1) $xy = \sqrt{3}$
2) $y = x\sqrt{3}$
Подставим $y$ из второго уравнения в первое:
$x(x\sqrt{3}) = \sqrt{3}$
$x^2\sqrt{3} = \sqrt{3}$
$x^2 = 1$, откуда $x=1$ или $x=-1$.

Аргумент $\frac{\pi}{3}$ соответствует первой координатной четверти, где $x > 0$ и $y > 0$. Поэтому выбираем $x=1$.
Находим $y$: $y = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.
Искомое комплексное число $z = x+iy = 1 + i\sqrt{3}$.

Ответ: $z = 1 + i\sqrt{3}$