Номер 34.40, страница 202, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

34.40. Для числа $z = \cos (0,11\pi) + i \sin (0,11\pi)$ укажите наименьшее натуральное число $n$, при котором:

a) $arg(z^n) > \frac{\pi}{4}$;

в) $arg(z^n) > \frac{5\pi}{6}$;

б) $arg(z^n) > \frac{\pi}{2}$;

г) $arg(z^n) < 0$.

Данное комплексное число $z = \cos(0,11\pi) + i \sin(0,11\pi)$ представлено в тригонометрической форме. Его модуль $|z| = 1$, а аргумент $\arg(z) = 0,11\pi$. Согласно формуле Муавра, $n$-я степень числа $z$ равна: $z^n = (\cos(0,11\pi) + i \sin(0,11\pi))^n = \cos(n \cdot 0,11\pi) + i \sin(n \cdot 0,11\pi)$. Следовательно, аргумент числа $z^n$ можно вычислить как $\arg(z^n) = n \cdot \arg(z) = 0,11n\pi$. Наша задача — найти наименьшее натуральное число $n$, при котором выполняются указанные условия.

a)

Требуется найти наименьшее натуральное $n$, такое что $\arg(z^n) > \frac{\pi}{4}$. Составим неравенство: $0,11n\pi > \frac{\pi}{4}$ Разделим обе части на $\pi$ (поскольку $\pi > 0$, знак неравенства не меняется): $0,11n > \frac{1}{4}$ $0,11n > 0,25$ Теперь найдем $n$: $n > \frac{0,25}{0,11} = \frac{25}{11} \approx 2,27$ Поскольку $n$ должно быть натуральным числом, наименьшее целое число, большее $2,27$, это $n=3$.

Ответ: 3

б)

Требуется найти наименьшее натуральное $n$, такое что $\arg(z^n) > \frac{\pi}{2}$. Составим неравенство: $0,11n\pi > \frac{\pi}{2}$ Разделим обе части на $\pi$: $0,11n > \frac{1}{2}$ $0,11n > 0,5$ Найдем $n$: $n > \frac{0,5}{0,11} = \frac{50}{11} \approx 4,54$ Наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому условию, — это $n=5$.

Ответ: 5

в)

Требуется найти наименьшее натуральное $n$, такое что $\arg(z^n) > \frac{5\pi}{6}$. Составим неравенство: $0,11n\pi > \frac{5\pi}{6}$ Разделим обе части на $\pi$: $0,11n > \frac{5}{6}$ Найдем $n$: $n > \frac{5/6}{0,11} = \frac{5/6}{11/100} = \frac{5 \cdot 100}{6 \cdot 11} = \frac{500}{66} = \frac{250}{33} \approx 7,57$ Наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому условию, — это $n=8$.

Ответ: 8

г)

Требуется найти наименьшее натуральное $n$, такое что $\arg(z^n) < 0$. Аргумент $0,11n\pi$ положителен для любого натурального $n$. Условие $\arg(z^n) < 0$ означает, что главный аргумент числа $z^n$ должен быть отрицательным. Это происходит, когда точка, представляющая $z^n$ на комплексной плоскости, находится в нижней полуплоскости (в 3-й или 4-й четверти). Для этого угол $0,11n\pi$ должен лежать в интервале вида $(\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$ для некоторого целого $k$. Чтобы найти наименьшее натуральное $n$, рассмотрим случай $k=0$: $\pi < 0,11n\pi < 2\pi$ Разделим все части неравенства на $\pi$: $1 < 0,11n < 2$ Рассмотрим левую часть двойного неравенства: $1 < 0,11n$ $n > \frac{1}{0,11} = \frac{100}{11} \approx 9,09$ Наименьшее натуральное число $n$, которое удовлетворяет этому условию, — это $n=10$. Проверим, выполняется ли для $n=10$ правая часть неравенства $0,11n < 2$: $0,11 \cdot 10 = 1,1$, и $1,1 < 2$. Так как $1 < 1,1 < 2$, условие выполняется. При $n=10$ аргумент $1,1\pi$ находится в третьей четверти, а главный аргумент равен $1,1\pi - 2\pi = -0,9\pi$, что меньше нуля.

Ответ: 10