Номер 34.39, страница 202, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

34.39. Зная, что $z_1 = 2 - i$, $z_2 = 4 + 3i$, $z_3 = -2 + 5i$, изобразите на комплексной плоскости треугольник с вершинами $\frac{z_1}{z}$, $\frac{z_2}{z}$, $\frac{z_3}{z}$, если:

а) $z = i$;

б) $z = 2i$;

в) $z = -i$;

г) $z = 1 - i$.

Для решения задачи нам даны три комплексных числа: $z_1 = 2 - i$, $z_2 = 4 + 3i$ и $z_3 = -2 + 5i$. Вершины искомого треугольника задаются как отношения этих чисел к заданному комплексному числу $z$. Найдем координаты этих вершин для каждого случая.

а) $z = i$

Найдем координаты вершин треугольника $A_1, B_1, C_1$, которые соответствуют комплексным числам $\frac{z_1}{z}, \frac{z_2}{z}, \frac{z_3}{z}$.

Вершина $A_1$: $\frac{z_1}{z} = \frac{2 - i}{i}$. Для деления умножим числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное к знаменателю, то есть на $-i$:
$\frac{(2 - i) \cdot (-i)}{i \cdot (-i)} = \frac{-2i + i^2}{-i^2} = \frac{-2i - 1}{1} = -1 - 2i$.
Координаты точки $A_1$ на комплексной плоскости: $(-1, -2)$.

Вершина $B_1$: $\frac{z_2}{z} = \frac{4 + 3i}{i} = \frac{(4 + 3i) \cdot (-i)}{i \cdot (-i)} = \frac{-4i - 3i^2}{1} = \frac{-4i + 3}{1} = 3 - 4i$.
Координаты точки $B_1$: $(3, -4)$.

Вершина $C_1$: $\frac{z_3}{z} = \frac{-2 + 5i}{i} = \frac{(-2 + 5i) \cdot (-i)}{i \cdot (-i)} = \frac{2i - 5i^2}{1} = \frac{2i + 5}{1} = 5 + 2i$.
Координаты точки $C_1$: $(5, 2)$.

Таким образом, для $z=i$ треугольник имеет вершины в точках $A_1(-1, -2)$, $B_1(3, -4)$ и $C_1(5, 2)$.
Ответ: Вершины треугольника - это точки с координатами $(-1, -2)$, $(3, -4)$, $(5, 2)$.

б) $z = 2i$

Найдем координаты вершин треугольника $A_2, B_2, C_2$.

Вершина $A_2$: $\frac{z_1}{z} = \frac{2 - i}{2i} = \frac{(2 - i) \cdot (-2i)}{2i \cdot (-2i)} = \frac{-4i + 2i^2}{-4i^2} = \frac{-4i - 2}{4} = -\frac{1}{2} - i$.
Координаты точки $A_2$: $(-\frac{1}{2}, -1)$.

Вершина $B_2$: $\frac{z_2}{z} = \frac{4 + 3i}{2i} = \frac{(4 + 3i) \cdot (-2i)}{2i \cdot (-2i)} = \frac{-8i - 6i^2}{4} = \frac{-8i + 6}{4} = \frac{3}{2} - 2i$.
Координаты точки $B_2$: $(\frac{3}{2}, -2)$.

Вершина $C_2$: $\frac{z_3}{z} = \frac{-2 + 5i}{2i} = \frac{(-2 + 5i) \cdot (-2i)}{2i \cdot (-2i)} = \frac{4i - 10i^2}{4} = \frac{4i + 10}{4} = \frac{5}{2} + i$.
Координаты точки $C_2$: $(\frac{5}{2}, 1)$.

Таким образом, для $z=2i$ треугольник имеет вершины в точках $A_2(-\frac{1}{2}, -1)$, $B_2(\frac{3}{2}, -2)$ и $C_2(\frac{5}{2}, 1)$.
Ответ: Вершины треугольника - это точки с координатами $(-\frac{1}{2}, -1)$, $(\frac{3}{2}, -2)$, $(\frac{5}{2}, 1)$.

в) $z = -i$

Найдем координаты вершин треугольника $A_3, B_3, C_3$.

Вершина $A_3$: $\frac{z_1}{z} = \frac{2 - i}{-i}$. Умножим числитель и знаменатель на $i$:
$\frac{(2 - i) \cdot i}{(-i) \cdot i} = \frac{2i - i^2}{-i^2} = \frac{2i + 1}{1} = 1 + 2i$.
Координаты точки $A_3$: $(1, 2)$.

Вершина $B_3$: $\frac{z_2}{z} = \frac{4 + 3i}{-i} = \frac{(4 + 3i) \cdot i}{(-i) \cdot i} = \frac{4i + 3i^2}{1} = \frac{4i - 3}{1} = -3 + 4i$.
Координаты точки $B_3$: $(-3, 4)$.

Вершина $C_3$: $\frac{z_3}{z} = \frac{-2 + 5i}{-i} = \frac{(-2 + 5i) \cdot i}{(-i) \cdot i} = \frac{-2i + 5i^2}{1} = \frac{-2i - 5}{1} = -5 - 2i$.
Координаты точки $C_3$: $(-5, -2)$.

Таким образом, для $z=-i$ треугольник имеет вершины в точках $A_3(1, 2)$, $B_3(-3, 4)$ и $C_3(-5, -2)$.
Ответ: Вершины треугольника - это точки с координатами $(1, 2)$, $(-3, 4)$, $(-5, -2)$.

г) $z = 1 - i$

Найдем координаты вершин треугольника $A_4, B_4, C_4$. Комплексно-сопряженное к $z$ есть $\bar{z} = 1+i$. Произведение $z \cdot \bar{z} = (1-i)(1+i) = 1^2 - (i^2) = 1+1=2$.

Вершина $A_4$: $\frac{z_1}{z} = \frac{2 - i}{1 - i} = \frac{(2 - i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{2 + 2i - i - i^2}{2} = \frac{2+i+1}{2} = \frac{3+i}{2} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}i$.
Координаты точки $A_4$: $(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$.

Вершина $B_4$: $\frac{z_2}{z} = \frac{4 + 3i}{1 - i} = \frac{(4 + 3i)(1 + i)}{2} = \frac{4 + 4i + 3i + 3i^2}{2} = \frac{4 + 7i - 3}{2} = \frac{1 + 7i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{7}{2}i$.
Координаты точки $B_4$: $(\frac{1}{2}, \frac{7}{2})$.

Вершина $C_4$: $\frac{z_3}{z} = \frac{-2 + 5i}{1 - i} = \frac{(-2 + 5i)(1 + i)}{2} = \frac{-2 - 2i + 5i + 5i^2}{2} = \frac{-2 + 3i - 5}{2} = \frac{-7 + 3i}{2} = -\frac{7}{2} + \frac{3}{2}i$.
Координаты точки $C_4$: $(-\frac{7}{2}, \frac{3}{2})$.

Таким образом, для $z=1-i$ треугольник имеет вершины в точках $A_4(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$, $B_4(\frac{1}{2}, \frac{7}{2})$ и $C_4(-\frac{7}{2}, \frac{3}{2})$.
Ответ: Вершины треугольника - это точки с координатами $(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$, $(\frac{1}{2}, \frac{7}{2})$, $(-\frac{7}{2}, \frac{3}{2})$.