Номер 34.32, страница 201, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

34.32. a) Зная, что $z = \sqrt{2} + \sqrt{2}i$, найдите $z^2$, запишите числа $z$ и $z^2$ в тригонометрической форме, сравните модули и аргументы этих чисел, изобразите числа на комплексной плоскости.

б) Зная, что $z = 2 - 2\sqrt{3}i$, найдите $z^2$, запишите числа $z$ и $z^2$ в тригонометрической форме, сравните модули и аргументы этих чисел, изобразите числа на комплексной плоскости.

Зная, что $z_1 = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$ и $z_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$, изобразите на комплексной плоскости числа $z_1$, $z_2$, $z$ и найдите аргумент указанного числа $z$:

Дано комплексное число $z = \sqrt{2} + \sqrt{2}i$.

1. Найдем $z^2$.

$z^2 = (\sqrt{2} + \sqrt{2}i)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}i + (\sqrt{2}i)^2 = 2 + 4i + 2i^2 = 2 + 4i - 2 = 4i$.

2. Запишем число $z$ в тригонометрической форме.

Тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, где $r = |z|$ - модуль числа, а $\varphi = \arg(z)$ - его аргумент.

Для $z = \sqrt{2} + \sqrt{2}i$ имеем действительную часть $a = \sqrt{2}$ и мнимую часть $b = \sqrt{2}$.

Модуль: $r_z = |z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2$.

Аргумент: $\cos\varphi_z = \frac{a}{r_z} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin\varphi_z = \frac{b}{r_z} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Поскольку $\cos\varphi_z > 0$ и $\sin\varphi_z > 0$, угол $\varphi_z$ находится в первой четверти. Отсюда $\varphi_z = \frac{\pi}{4}$.

Тригонометрическая форма числа $z$: $z = 2(\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4}))$.

3. Запишем число $z^2$ в тригонометрической форме.

Для $z^2 = 4i$ имеем $a=0, b=4$.

Модуль: $r_{z^2} = |z^2| = \sqrt{0^2 + 4^2} = 4$.

Аргумент: $\cos\varphi_{z^2} = \frac{0}{4} = 0$, $\sin\varphi_{z^2} = \frac{4}{4} = 1$.

Угол $\varphi_{z^2}$ соответствует положительной мнимой полуоси, поэтому $\varphi_{z^2} = \frac{\pi}{2}$.

Тригонометрическая форма числа $z^2$: $z^2 = 4(\cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2}))$.

4. Сравним модули и аргументы.

Модули: $|z| = 2$, $|z^2| = 4$. Таким образом, $|z^2| = |z|^2$.

Аргументы: $\arg(z) = \frac{\pi}{4}$, $\arg(z^2) = \frac{\pi}{2}$. Таким образом, $\arg(z^2) = 2 \cdot \arg(z)$.

5. Изобразим числа на комплексной плоскости.

Число $z = \sqrt{2} + \sqrt{2}i$ изображается вектором из начала координат в точку $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$.

Число $z^2 = 4i$ изображается вектором из начала координат в точку $(0, 4)$.

Ответ: $z^2 = 4i$; $z = 2(\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4}))$; $z^2 = 4(\cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2}))$; $|z^2| = |z|^2$; $\arg(z^2) = 2\arg(z)$. Число $z$ находится в первой четверти на биссектрисе угла, число $z^2$ - на положительной мнимой оси.

Дано комплексное число $z = 2 - 2\sqrt{3}i$.

1. Найдем $z^2$.

$z^2 = (2 - 2\sqrt{3}i)^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2\sqrt{3}i + (2\sqrt{3}i)^2 = 4 - 8\sqrt{3}i + 4 \cdot 3 \cdot i^2 = 4 - 8\sqrt{3}i - 12 = -8 - 8\sqrt{3}i$.

2. Запишем число $z$ в тригонометрической форме.

Для $z = 2 - 2\sqrt{3}i$ имеем $a = 2, b = -2\sqrt{3}$.

Модуль: $r_z = |z| = \sqrt{2^2 + (-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$.

Аргумент: $\cos\varphi_z = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$, $\sin\varphi_z = \frac{-2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Поскольку $\cos\varphi_z > 0$ и $\sin\varphi_z < 0$, угол $\varphi_z$ находится в четвертой четверти. Отсюда $\varphi_z = -\frac{\pi}{3}$.

Тригонометрическая форма числа $z$: $z = 4(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3}))$.

3. Запишем число $z^2$ в тригонометрической форме.

Для $z^2 = -8 - 8\sqrt{3}i$ имеем $a = -8, b = -8\sqrt{3}$.

Модуль: $r_{z^2} = |z^2| = \sqrt{(-8)^2 + (-8\sqrt{3})^2} = \sqrt{64 + 64 \cdot 3} = \sqrt{64 \cdot 4} = \sqrt{256} = 16$.

Аргумент: $\cos\varphi_{z^2} = \frac{-8}{16} = -\frac{1}{2}$, $\sin\varphi_{z^2} = \frac{-8\sqrt{3}}{16} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Поскольку $\cos\varphi_{z^2} < 0$ и $\sin\varphi_{z^2} < 0$, угол $\varphi_{z^2}$ находится в третьей четверти. Отсюда $\varphi_{z^2} = -\frac{2\pi}{3}$.

Тригонометрическая форма числа $z^2$: $z^2 = 16(\cos(-\frac{2\pi}{3}) + i\sin(-\frac{2\pi}{3}))$.

4. Сравним модули и аргументы.

Модули: $|z| = 4$, $|z^2| = 16$. Таким образом, $|z^2| = |z|^2$.

Аргументы: $\arg(z) = -\frac{\pi}{3}$, $\arg(z^2) = -\frac{2\pi}{3}$. Таким образом, $\arg(z^2) = 2 \cdot \arg(z)$.

5. Изобразим числа на комплексной плоскости.

Число $z = 2 - 2\sqrt{3}i$ изображается вектором из начала координат в точку $(2, -2\sqrt{3})$.

Число $z^2 = -8 - 8\sqrt{3}i$ изображается вектором из начала координат в точку $(-8, -8\sqrt{3})$.

Ответ: $z^2 = -8 - 8\sqrt{3}i$; $z = 4(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3}))$; $z^2 = 16(\cos(-\frac{2\pi}{3}) + i\sin(-\frac{2\pi}{3}))$; $|z^2| = |z|^2$; $\arg(z^2) = 2\arg(z)$. Число $z$ находится в четвертой четверти, число $z^2$ - в третьей четверти.

В условии даны комплексные числа $z_1 = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$ и $z_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$. Задание просит изобразить на комплексной плоскости числа $z_1, z_2, z$ и найти аргумент числа $z$. Определение числа $z$ в условии отсутствует. Наиболее вероятной является интерпретация, в которой $z$ является произведением $z_1$ и $z_2$, то есть $z = z_1 \cdot z_2$.

1. Найдем число $z$.

$z = z_1 \cdot z_2 = (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i)(-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i)$.

Применим формулу разности квадратов $(x+y)(y-x) = y^2 - x^2$, где $y = \frac{\sqrt{2}}{2}i$ и $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$z = (\frac{\sqrt{2}}{2}i)^2 - (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4}i^2 - \frac{2}{4} = \frac{1}{2}(-1) - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = -1$.

Итак, $z = -1$.

2. Изобразим числа $z_1, z_2$ и $z$ на комплексной плоскости.

• Число $z_1 = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$ соответствует точке с координатами $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.
• Число $z_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$ соответствует точке с координатами $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.
• Число $z = -1$ соответствует точке с координатами $(-1, 0)$.

Все три точки лежат на единичной окружности. Точка $z_1$ находится в первом квадранте, $z_2$ — во втором, а $z$ — на отрицательной части действительной оси.

3. Найдем аргумент числа $z$.

Для $z = -1$, действительная часть $a = -1$, мнимая часть $b = 0$. Точка лежит на отрицательной действительной полуоси, следовательно, ее аргумент $\arg(z) = \pi$.

Этот же результат можно получить, используя свойство аргумента произведения: $\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)$.

$\arg(z_1) = \frac{\pi}{4}$ (из пункта а, с модулем 1).

Для $z_2$: $\cos\varphi_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \sin\varphi_2 = \frac{\sqrt{2}}{2}$, отсюда $\arg(z_2) = \frac{3\pi}{4}$.

$\arg(z) = \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = \frac{4\pi}{4} = \pi$.

Ответ: При предположении, что $z=z_1 \cdot z_2$, получаем $z=-1$. Аргумент числа $z$ равен $\pi$. На комплексной плоскости $z_1, z_2, z$ являются точками $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$, $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ и $(-1, 0)$ соответственно.