Номер 34.27, страница 200, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

34.27. a) $1 - \cos 100^\circ + i \sin 100^\circ;$

б) $\sin \frac{4\pi}{7} + i \left(1 - \cos \frac{4\pi}{7}\right);$

В) $\sin \frac{6\pi}{11} + i \left(1 - \cos \frac{6\pi}{11}\right);$

Г) $1 - \cos 250^\circ + i \sin 610^\circ.$

а) $1 - \cos 100^\circ + i \sin 100^\circ$

Обозначим данное комплексное число как $z$. Его действительная часть $x = 1 - \cos 100^\circ$, а мнимая часть $y = \sin 100^\circ$.

Для преобразования в тригонометрическую форму $z = r(\cos \phi + i \sin \phi)$ воспользуемся формулами половинного угла:

$1 - \cos \alpha = 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}$

$\sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}$

Применим эти формулы для $\alpha = 100^\circ$:

$x = 1 - \cos 100^\circ = 2 \sin^2 \frac{100^\circ}{2} = 2 \sin^2 50^\circ$

$y = \sin 100^\circ = 2 \sin \frac{100^\circ}{2} \cos \frac{100^\circ}{2} = 2 \sin 50^\circ \cos 50^\circ$

Таким образом, $z = 2 \sin^2 50^\circ + i(2 \sin 50^\circ \cos 50^\circ)$.

Теперь найдем модуль числа $r = |z|$:

$r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(2 \sin^2 50^\circ)^2 + (2 \sin 50^\circ \cos 50^\circ)^2} = \sqrt{4 \sin^4 50^\circ + 4 \sin^2 50^\circ \cos^2 50^\circ}$

$r = \sqrt{4 \sin^2 50^\circ (\sin^2 50^\circ + \cos^2 50^\circ)} = \sqrt{4 \sin^2 50^\circ} = 2 \sin 50^\circ$ (так как $50^\circ$ находится в первой четверти, $\sin 50^\circ > 0$).

Вынесем модуль за скобки, чтобы найти аргумент $\phi$:

$z = 2 \sin 50^\circ (\sin 50^\circ + i \cos 50^\circ)$

Сравнивая с тригонометрической формой $z = r(\cos \phi + i \sin \phi)$, получаем:

$\cos \phi = \sin 50^\circ$

$\sin \phi = \cos 50^\circ$

Используя формулы приведения $\sin \theta = \cos(90^\circ - \theta)$ и $\cos \theta = \sin(90^\circ - \theta)$, находим:

$\cos \phi = \cos(90^\circ - 50^\circ) = \cos 40^\circ$

$\sin \phi = \sin(90^\circ - 50^\circ) = \sin 40^\circ$

Отсюда следует, что аргумент $\phi = 40^\circ$.

Тригонометрическая форма числа:

$z = 2 \sin 50^\circ (\cos 40^\circ + i \sin 40^\circ)$

Ответ: $2 \sin 50^\circ (\cos 40^\circ + i \sin 40^\circ)$.

б) $\sin \frac{4\pi}{7} + i \left(1 - \cos \frac{4\pi}{7}\right)$

Обозначим данное комплексное число как $z$. Его действительная часть $x = \sin \frac{4\pi}{7}$, а мнимая часть $y = 1 - \cos \frac{4\pi}{7}$.

Воспользуемся формулами половинного угла. Пусть $\alpha = \frac{4\pi}{7}$, тогда $\frac{\alpha}{2} = \frac{2\pi}{7}$.

$x = \sin \frac{4\pi}{7} = 2 \sin \frac{2\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7}$

$y = 1 - \cos \frac{4\pi}{7} = 2 \sin^2 \frac{2\pi}{7}$

Таким образом, $z = 2 \sin \frac{2\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7} + i \left(2 \sin^2 \frac{2\pi}{7}\right)$.

Найдем модуль числа $r = |z|$:

$r = \sqrt{\left(2 \sin \frac{2\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7}\right)^2 + \left(2 \sin^2 \frac{2\pi}{7}\right)^2} = \sqrt{4 \sin^2 \frac{2\pi}{7} \cos^2 \frac{2\pi}{7} + 4 \sin^4 \frac{2\pi}{7}}$

$r = \sqrt{4 \sin^2 \frac{2\pi}{7} \left(\cos^2 \frac{2\pi}{7} + \sin^2 \frac{2\pi}{7}\right)} = \sqrt{4 \sin^2 \frac{2\pi}{7}} = 2 \sin \frac{2\pi}{7}$ (так как $0 < \frac{2\pi}{7} < \frac{\pi}{2}$, то $\sin \frac{2\pi}{7} > 0$).

Вынесем модуль за скобки:

$z = 2 \sin \frac{2\pi}{7} \left(\cos \frac{2\pi}{7} + i \sin \frac{2\pi}{7}\right)$

Сравнивая с тригонометрической формой $z = r(\cos \phi + i \sin \phi)$, получаем:

$\cos \phi = \cos \frac{2\pi}{7}$

$\sin \phi = \sin \frac{2\pi}{7}$

Отсюда следует, что аргумент $\phi = \frac{2\pi}{7}$.

Тригонометрическая форма числа:

$z = 2 \sin \frac{2\pi}{7} \left(\cos \frac{2\pi}{7} + i \sin \frac{2\pi}{7}\right)$

Ответ: $2 \sin \frac{2\pi}{7} \left(\cos \frac{2\pi}{7} + i \sin \frac{2\pi}{7}\right)$.

в) $\sin \frac{6\pi}{11} + i \left(1 - \cos \frac{6\pi}{11}\right)$

Данное выражение аналогично предыдущему. Обозначим $z = x + iy$, где $x = \sin \frac{6\pi}{11}$ и $y = 1 - \cos \frac{6\pi}{11}$.

Применим формулы половинного угла для $\alpha = \frac{6\pi}{11}$, тогда $\frac{\alpha}{2} = \frac{3\pi}{11}$.

$x = \sin \frac{6\pi}{11} = 2 \sin \frac{3\pi}{11} \cos \frac{3\pi}{11}$

$y = 1 - \cos \frac{6\pi}{11} = 2 \sin^2 \frac{3\pi}{11}$

Таким образом, $z = 2 \sin \frac{3\pi}{11} \cos \frac{3\pi}{11} + i \left(2 \sin^2 \frac{3\pi}{11}\right)$.

Найдем модуль числа $r = |z|$:

$r = \sqrt{\left(2 \sin \frac{3\pi}{11} \cos \frac{3\pi}{11}\right)^2 + \left(2 \sin^2 \frac{3\pi}{11}\right)^2} = \sqrt{4 \sin^2 \frac{3\pi}{11} \left(\cos^2 \frac{3\pi}{11} + \sin^2 \frac{3\pi}{11}\right)}$

$r = \sqrt{4 \sin^2 \frac{3\pi}{11}} = 2 \sin \frac{3\pi}{11}$ (так как $0 < \frac{3\pi}{11} < \frac{\pi}{2}$, то $\sin \frac{3\pi}{11} > 0$).

Вынесем модуль за скобки:

$z = 2 \sin \frac{3\pi}{11} \left(\cos \frac{3\pi}{11} + i \sin \frac{3\pi}{11}\right)$

Сравнивая с тригонометрической формой $z = r(\cos \phi + i \sin \phi)$, получаем, что аргумент $\phi = \frac{3\pi}{11}$.

Тригонометрическая форма числа:

$z = 2 \sin \frac{3\pi}{11} \left(\cos \frac{3\pi}{11} + i \sin \frac{3\pi}{11}\right)$

Ответ: $2 \sin \frac{3\pi}{11} \left(\cos \frac{3\pi}{11} + i \sin \frac{3\pi}{11}\right)$.

г) $1 - \cos 250^\circ + i \sin 610^\circ$

Сначала упростим аргумент синуса, используя периодичность функции $\sin x$ (период $360^\circ$):

$\sin 610^\circ = \sin(610^\circ - 360^\circ) = \sin 250^\circ$

Таким образом, комплексное число имеет вид $z = 1 - \cos 250^\circ + i \sin 250^\circ$.

Действительная часть $x = 1 - \cos 250^\circ$, мнимая часть $y = \sin 250^\circ$.

Применим формулы половинного угла для $\alpha = 250^\circ$, тогда $\frac{\alpha}{2} = 125^\circ$.

$x = 1 - \cos 250^\circ = 2 \sin^2 125^\circ$

$y = \sin 250^\circ = 2 \sin 125^\circ \cos 125^\circ$

Таким образом, $z = 2 \sin^2 125^\circ + i(2 \sin 125^\circ \cos 125^\circ)$.

Найдем модуль числа $r = |z|$:

$r = \sqrt{(2 \sin^2 125^\circ)^2 + (2 \sin 125^\circ \cos 125^\circ)^2} = \sqrt{4 \sin^4 125^\circ + 4 \sin^2 125^\circ \cos^2 125^\circ}$

$r = \sqrt{4 \sin^2 125^\circ (\sin^2 125^\circ + \cos^2 125^\circ)} = \sqrt{4 \sin^2 125^\circ} = 2 \sin 125^\circ$ (так как $90^\circ < 125^\circ < 180^\circ$, то $\sin 125^\circ > 0$).

Вынесем модуль за скобки:

$z = 2 \sin 125^\circ (\sin 125^\circ + i \cos 125^\circ)$

Сравнивая с тригонометрической формой $z = r(\cos \phi + i \sin \phi)$, получаем:

$\cos \phi = \sin 125^\circ$

$\sin \phi = \cos 125^\circ$

Используя формулы приведения:

$\cos \phi = \sin(90^\circ + 35^\circ) = \cos 35^\circ$

$\sin \phi = \cos(90^\circ + 35^\circ) = -\sin 35^\circ = \sin(-35^\circ)$

Из системы $\cos \phi = \cos 35^\circ$ и $\sin \phi = \sin(-35^\circ)$ следует, что $\phi = -35^\circ$ (или $325^\circ$).

Тригонометрическая форма числа:

$z = 2 \sin 125^\circ (\cos(-35^\circ) + i \sin(-35^\circ))$

Ответ: $2 \sin 125^\circ (\cos(-35^\circ) + i \sin(-35^\circ))$.