Страница 200, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

34.20. Изобразите на комплексной плоскости множество всех тех чисел z, у которых:

a) $\frac{\pi}{2} < \arg(z) < \frac{3\pi}{4}$ и $|z| = 2$;

б) $\frac{\pi}{2} < \arg(z) < \frac{3\pi}{4}$ и $3 < |z| < 5$;

в) $-\frac{3\pi}{4} < \arg(z) < \frac{\pi}{6}$ и $|z| = 8$;

г) $-\frac{5\pi}{6} < \arg(z) < \frac{2\pi}{3}$ или $1 < |z| < 2$.

а) Условие $|z| = 2$ задает на комплексной плоскости окружность с центром в начале координат и радиусом, равным $2$. Условие $\frac{\pi}{2} < \arg(z) < \frac{3\pi}{4}$ задает открытый угловой сектор, ограниченный лучами, выходящими из начала координат под углами $\frac{\pi}{2}$ (положительная часть мнимой оси) и $\frac{3\pi}{4}$ (биссектриса второго координатного угла). Поскольку условия должны выполняться одновременно (союз "и"), искомое множество точек является пересечением этих двух множеств. Геометрически это дуга окружности $|z|=2$, расположенная во втором квадранте. Так как неравенства для аргумента строгие, концы дуги, соответствующие углам $\frac{\pi}{2}$ и $\frac{3\pi}{4}$, не включаются в множество.
Ответ: Открытая дуга окружности с центром в начале координат и радиусом 2, заключенная между лучами $\arg(z) = \frac{\pi}{2}$ и $\arg(z) = \frac{3\pi}{4}$.

б) Условие $3 < |z| < 5$ задает на комплексной плоскости открытое кольцо, ограниченное окружностями с радиусами $3$ и $5$ и с центром в начале координат. Сами окружности в множество не входят. Условие $\frac{\pi}{2} < \arg(z) < \frac{3\pi}{4}$ задает открытый угловой сектор, как и в пункте а). Искомое множество является пересечением кольца и сектора (союз "и"). Это часть кольца, находящаяся между лучами, которые образуют угол от $\frac{\pi}{2}$ до $\frac{3\pi}{4}$ с положительным направлением действительной оси. Поскольку все неравенства строгие, границы множества (дуги окружностей и отрезки лучей) в него не входят.
Ответ: Открытый сектор кольца, расположенный между окружностями $|z|=3$ и $|z|=5$ и лучами $\arg(z)=\frac{\pi}{2}$ и $\arg(z)=\frac{3\pi}{4}$.

в) Условие $|z| = 8$ задает окружность с центром в начале координат и радиусом $8$. Условие $-\frac{3\pi}{4} < \arg(z) < \frac{\pi}{6}$ задает открытый угловой сектор, ограниченный лучами, выходящими из начала координат под углами $-\frac{3\pi}{4}$ ($-135^\circ$) и $\frac{\pi}{6}$ ($30^\circ$). Этот сектор охватывает часть третьего квадранта, весь четвертый квадрант и часть первого квадранта. Пересечение окружности и сектора (союз "и") представляет собой дугу этой окружности. Так как неравенства для аргумента строгие, концы дуги не принадлежат искомому множеству.
Ответ: Открытая дуга окружности с центром в начале координат и радиусом 8, заключенная между лучами $\arg(z) = -\frac{3\pi}{4}$ и $\arg(z) = \frac{\pi}{6}$.

г) В данном случае условия соединены союзом "или", что означает, что искомое множество является объединением двух множеств.
Первое множество, $M_1$, определяется условием $-\frac{5\pi}{6} < \arg(z) < \frac{2\pi}{3}$. Это открытый угловой сектор, ограниченный лучами, выходящими из начала координат под углами $-\frac{5\pi}{6}$ ($-150^\circ$) и $\frac{2\pi}{3}$ ($120^\circ$).
Второе множество, $M_2$, определяется условием $1 < |z| < 2$. Это открытое кольцо с центром в начале координат, расположенное между окружностями радиусов $1$ и $2$.
Искомое множество является объединением $M_1 \cup M_2$. Это все точки, которые лежат либо в указанном угловом секторе, либо в указанном кольце.
Ответ: Объединение двух множеств: открытого кольца $1 < |z| < 2$ и открытого углового сектора $-\frac{5\pi}{6} < \arg(z) < \frac{2\pi}{3}$.

Запишите комплексное число в стандартной тригонометрической форме:

34.21. а) $5$;

б) $3i$;

в) $-8$;

г) $-0,5i$.

Стандартная тригонометрическая форма комплексного числа $z = x + iy$ имеет вид $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$, где $r$ – модуль числа, а $\varphi$ – его аргумент.

Модуль $r$ вычисляется по формуле $r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Аргумент $\varphi$ – это угол, который образует вектор, соответствующий числу $z$ на комплексной плоскости, с положительным направлением действительной оси. Он определяется из системы уравнений: $\cos \varphi = \frac{x}{r}$ и $\sin \varphi = \frac{y}{r}$.

а) Для комплексного числа $z = 5$.

Представим его в алгебраической форме: $z = 5 + 0i$. Здесь действительная часть $x=5$, а мнимая часть $y=0$.

1. Находим модуль числа: $r = \sqrt{5^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5$.

2. Находим аргумент. Поскольку точка $(5, 0)$, соответствующая числу, лежит на положительной части действительной оси, ее аргумент $\varphi = 0$.

3. Записываем число в тригонометрической форме: $z = 5(\cos 0 + i \sin 0)$.

Ответ: $5(\cos 0 + i \sin 0)$.

б) Для комплексного числа $z = 3i$.

Представим его в алгебраической форме: $z = 0 + 3i$. Здесь $x=0$, $y=3$.

1. Находим модуль числа: $r = \sqrt{0^2 + 3^2} = \sqrt{9} = 3$.

2. Находим аргумент. Поскольку точка $(0, 3)$ лежит на положительной части мнимой оси, ее аргумент $\varphi = \frac{\pi}{2}$.

3. Записываем число в тригонометрической форме: $z = 3(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2})$.

Ответ: $3(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2})$.

в) Для комплексного числа $z = -8$.

Представим его в алгебраической форме: $z = -8 + 0i$. Здесь $x=-8$, $y=0$.

1. Находим модуль числа: $r = \sqrt{(-8)^2 + 0^2} = \sqrt{64} = 8$.

2. Находим аргумент. Поскольку точка $(-8, 0)$ лежит на отрицательной части действительной оси, ее аргумент $\varphi = \pi$.

3. Записываем число в тригонометрической форме: $z = 8(\cos \pi + i \sin \pi)$.

Ответ: $8(\cos \pi + i \sin \pi)$.

г) Для комплексного числа $z = -0,5i$.

Представим его в алгебраической форме: $z = 0 - 0,5i$. Здесь $x=0$, $y=-0,5$.

1. Находим модуль числа: $r = \sqrt{0^2 + (-0,5)^2} = \sqrt{0,25} = 0,5$.

2. Находим аргумент. Поскольку точка $(0, -0,5)$ лежит на отрицательной части мнимой оси, ее аргумент $\varphi = -\frac{\pi}{2}$.

3. Записываем число в тригонометрической форме: $z = 0,5(\cos(-\frac{\pi}{2}) + i \sin(-\frac{\pi}{2}))$.

Ответ: $0,5(\cos(-\frac{\pi}{2}) + i \sin(-\frac{\pi}{2}))$.

34.22. a) $4 + 4i$;

б) $1 - i$;

в) $-2 + 2i$;

г) $-2 - 2i$.

а)
Для того чтобы представить комплексное число $z = 4 + 4i$ в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, необходимо найти его модуль $r$ и аргумент $\varphi$.
Действительная часть числа $x = 4$, мнимая часть $y = 4$.
Модуль комплексного числа вычисляется по формуле:
$r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$.
Аргумент $\varphi$ найдем из системы уравнений:
$\cos\varphi = \frac{x}{r} = \frac{4}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin\varphi = \frac{y}{r} = \frac{4}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Поскольку $\cos\varphi > 0$ и $\sin\varphi > 0$, угол $\varphi$ расположен в первой координатной четверти. Следовательно, аргумент $\varphi = \frac{\pi}{4}$.
Таким образом, тригонометрическая форма числа:
$z = 4\sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4})$.
Ответ: $4\sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4})$.

б)
Представим комплексное число $z = 1 - i$ в тригонометрической форме.
Действительная часть $x = 1$, мнимая часть $y = -1$.
Найдем модуль числа:
$r = |z| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
Найдем аргумент $\varphi$ из системы:
$\cos\varphi = \frac{x}{r} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin\varphi = \frac{y}{r} = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Поскольку $\cos\varphi > 0$ и $\sin\varphi < 0$, угол $\varphi$ расположен в четвертой координатной четверти. Следовательно, главное значение аргумента $\varphi = -\frac{\pi}{4}$.
Тригонометрическая форма числа:
$z = \sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}))$.
Ответ: $\sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}))$.

в)
Представим комплексное число $z = -2 + 2i$ в тригонометрической форме.
Действительная часть $x = -2$, мнимая часть $y = 2$.
Найдем модуль числа:
$r = |z| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
Найдем аргумент $\varphi$ из системы:
$\cos\varphi = \frac{x}{r} = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin\varphi = \frac{y}{r} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Поскольку $\cos\varphi < 0$ и $\sin\varphi > 0$, угол $\varphi$ расположен во второй координатной четверти. Следовательно, главное значение аргумента $\varphi = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
Тригонометрическая форма числа:
$z = 2\sqrt{2}(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4})$.
Ответ: $2\sqrt{2}(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4})$.

г)
Представим комплексное число $z = -2 - 2i$ в тригонометрической форме.
Действительная часть $x = -2$, мнимая часть $y = -2$.
Найдем модуль числа:
$r = |z| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
Найдем аргумент $\varphi$ из системы:
$\cos\varphi = \frac{x}{r} = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin\varphi = \frac{y}{r} = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Поскольку $\cos\varphi < 0$ и $\sin\varphi < 0$, угол $\varphi$ расположен в третьей координатной четверти. Следовательно, главное значение аргумента $\varphi = -\pi + \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4}$.
Тригонометрическая форма числа:
$z = 2\sqrt{2}(\cos(-\frac{3\pi}{4}) + i\sin(-\frac{3\pi}{4}))$.
Ответ: $2\sqrt{2}(\cos(-\frac{3\pi}{4}) + i\sin(-\frac{3\pi}{4}))$.

34.23. а) $\sqrt{3} + i$;

б) $-\sqrt{3} + i$;

В) $3\sqrt{3} - 3i$;

Г) $-2\sqrt{3} - 2i$.

Для представления комплексного числа $z = x + yi$ в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ необходимо найти его модуль $r$ и аргумент $\varphi$. Модуль вычисляется по формуле $r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$, а аргумент $\varphi$ находится из системы уравнений $\cos\varphi = \frac{x}{r}$ и $\sin\varphi = \frac{y}{r}$.

а) Для комплексного числа $z = \sqrt{3} + i$ действительная часть $x = \sqrt{3}$, мнимая часть $y = 1$.

Найдем модуль числа $r$:

$r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Найдем аргумент $\varphi$, решив систему:

$\cos\varphi = \frac{x}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin\varphi = \frac{y}{r} = \frac{1}{2}$

Поскольку $\cos\varphi > 0$ и $\sin\varphi > 0$, угол $\varphi$ находится в первой координатной четверти. Следовательно, $\varphi = \frac{\pi}{6}$.

Тригонометрическая форма числа: $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) = 2(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})$.

Ответ: $2(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})$.

б) Для комплексного числа $z = -\sqrt{3} + i$ действительная часть $x = -\sqrt{3}$, мнимая часть $y = 1$.

Найдем модуль числа $r$:

$r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Найдем аргумент $\varphi$, решив систему:

$\cos\varphi = \frac{x}{r} = \frac{-\sqrt{3}}{2}$

$\sin\varphi = \frac{y}{r} = \frac{1}{2}$

Поскольку $\cos\varphi < 0$ и $\sin\varphi > 0$, угол $\varphi$ находится во второй координатной четверти. Следовательно, $\varphi = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Тригонометрическая форма числа: $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) = 2(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6})$.

Ответ: $2(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6})$.

в) Для комплексного числа $z = 3\sqrt{3} - 3i$ действительная часть $x = 3\sqrt{3}$, мнимая часть $y = -3$.

Найдем модуль числа $r$:

$r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + (-3)^2} = \sqrt{27 + 9} = \sqrt{36} = 6$.

Найдем аргумент $\varphi$, решив систему:

$\cos\varphi = \frac{x}{r} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin\varphi = \frac{y}{r} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$

Поскольку $\cos\varphi > 0$ и $\sin\varphi < 0$, угол $\varphi$ находится в четвертой координатной четверти. Следовательно, $\varphi = -\frac{\pi}{6}$ (или $\frac{11\pi}{6}$).

Тригонометрическая форма числа: $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) = 6(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{6}))$.

Ответ: $6(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{6}))$.

г) Для комплексного числа $z = -2\sqrt{3} - 2i$ действительная часть $x = -2\sqrt{3}$, мнимая часть $y = -2$.

Найдем модуль числа $r$:

$r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(-2\sqrt{3})^2 + (-2)^2} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4$.

Найдем аргумент $\varphi$, решив систему:

$\cos\varphi = \frac{x}{r} = \frac{-2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin\varphi = \frac{y}{r} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Поскольку $\cos\varphi < 0$ и $\sin\varphi < 0$, угол $\varphi$ находится в третьей координатной четверти. Следовательно, $\varphi = -\pi + \frac{\pi}{6} = -\frac{5\pi}{6}$ (или $\frac{7\pi}{6}$).

Тригонометрическая форма числа: $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) = 4(\cos(-\frac{5\pi}{6}) + i\sin(-\frac{5\pi}{6}))$.

Ответ: $4(\cos(-\frac{5\pi}{6}) + i\sin(-\frac{5\pi}{6}))$.

34.24. a) $4 - 4\sqrt{3}i;$

б) $1 + \sqrt{3}i;$

В) $-2 - 2\sqrt{3}i;$

Г) $ - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i. $

а) Для представления комплексного числа $z = 4 - 4\sqrt{3}i$ в тригонометрической и показательной форме, найдем его модуль $r$ и аргумент $\varphi$.
Действительная часть $x=4$, мнимая часть $y = -4\sqrt{3}$.
Модуль числа:
$r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{4^2 + (-4\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + 16 \cdot 3} = \sqrt{16 + 48} = \sqrt{64} = 8$.
Аргумент $\varphi$ находится из системы:
$\left\{\begin{array}{l}\cos\varphi = \frac{x}{r} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \\ \sin\varphi = \frac{y}{r} = \frac{-4\sqrt{3}}{8} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right.$
Так как действительная часть положительна ($x > 0$), а мнимая отрицательна ($y < 0$), угол $\varphi$ находится в IV четверти. Следовательно, главный аргумент $\varphi = -\frac{\pi}{3}$.
Тригонометрическая форма: $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) = 8(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3}))$.
Показательная форма: $z = re^{i\varphi} = 8e^{-i\frac{\pi}{3}}$.
Ответ: Тригонометрическая форма: $8(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3}))$; показательная форма: $8e^{-i\frac{\pi}{3}}$.

б) Для комплексного числа $z = 1 + \sqrt{3}i$, найдем его модуль $r$ и аргумент $\varphi$.
Действительная часть $x=1$, мнимая часть $y = \sqrt{3}$.
Модуль числа:
$r = |z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.
Аргумент $\varphi$ находится из системы:
$\left\{\begin{array}{l}\cos\varphi = \frac{x}{r} = \frac{1}{2} \\ \sin\varphi = \frac{y}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right.$
Так как действительная и мнимая части положительны ($x > 0, y > 0$), угол $\varphi$ находится в I четверти. Следовательно, $\varphi = \frac{\pi}{3}$.
Тригонометрическая форма: $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}))$.
Показательная форма: $z = re^{i\varphi} = 2e^{i\frac{\pi}{3}}$.
Ответ: Тригонометрическая форма: $2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}))$; показательная форма: $2e^{i\frac{\pi}{3}}$.

в) Для комплексного числа $z = -2 - 2\sqrt{3}i$, найдем его модуль $r$ и аргумент $\varphi$.
Действительная часть $x=-2$, мнимая часть $y = -2\sqrt{3}$.
Модуль числа:
$r = |z| = \sqrt{(-2)^2 + (-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 4 \cdot 3} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$.
Аргумент $\varphi$ находится из системы:
$\left\{\begin{array}{l}\cos\varphi = \frac{x}{r} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \\ \sin\varphi = \frac{y}{r} = \frac{-2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right.$
Так как действительная и мнимая части отрицательны ($x < 0, y < 0$), угол $\varphi$ находится в III четверти. Следовательно, главный аргумент $\varphi = -\frac{2\pi}{3}$.
Тригонометрическая форма: $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) = 4(\cos(-\frac{2\pi}{3}) + i\sin(-\frac{2\pi}{3}))$.
Показательная форма: $z = re^{i\varphi} = 4e^{-i\frac{2\pi}{3}}$.
Ответ: Тригонометрическая форма: $4(\cos(-\frac{2\pi}{3}) + i\sin(-\frac{2\pi}{3}))$; показательная форма: $4e^{-i\frac{2\pi}{3}}$.

г) Для комплексного числа $z = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$, найдем его модуль $r$ и аргумент $\varphi$.
Действительная часть $x = -\frac{1}{2}$, мнимая часть $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Модуль числа:
$r = |z| = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1$.
Аргумент $\varphi$ находится из системы:
$\left\{\begin{array}{l}\cos\varphi = \frac{x}{r} = -\frac{1}{2} \\ \sin\varphi = \frac{y}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right.$
Так как действительная часть отрицательна ($x < 0$), а мнимая положительна ($y > 0$), угол $\varphi$ находится во II четверти. Следовательно, $\varphi = \frac{2\pi}{3}$.
Тригонометрическая форма: $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) = \cos(\frac{2\pi}{3}) + i\sin(\frac{2\pi}{3})$.
Показательная форма: $z = re^{i\varphi} = e^{i\frac{2\pi}{3}}$.
Ответ: Тригонометрическая форма: $\cos(\frac{2\pi}{3}) + i\sin(\frac{2\pi}{3})$; показательная форма: $e^{i\frac{2\pi}{3}}$.

34.25. а) $3 - 4i$;

б) $-5 + 12i$;

В) $6 + 8i$;

Г) $-15 - 8i$.

а)

Чтобы найти квадратный корень из комплексного числа $z = 3 - 4i$, будем искать его в виде $w = x + yi$ так, чтобы $w^2 = z$.

$(x + yi)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi$.

Приравнивая действительные и мнимые части к $3 - 4i$, получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 3 \\ 2xy = -4\end{cases}$

Также воспользуемся свойством модуля: $|w^2| = |z|$, откуда $|w|^2 = |z|$, то есть $x^2 + y^2 = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Теперь у нас есть более простая для решения система:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 3 \\ x^2 + y^2 = 5\end{cases}$

Сложив эти два уравнения, получим: $2x^2 = 8 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.

Вычтем первое уравнение из второго: $2y^2 = 2 \implies y^2 = 1 \implies y = \pm 1$.

Из условия $2xy = -4$ (или $xy = -2$) следует, что $x$ и $y$ должны иметь разные знаки. Таким образом, у нас есть два возможных решения:

• Если $x = 2$, то $y = -1$, что дает корень $2 - i$.
• Если $x = -2$, то $y = 1$, что дает корень $-2 + i$.

Оба корня можно записать как $\pm(2 - i)$.

Ответ: $\pm(2 - i)$

б)

Найдем квадратный корень из комплексного числа $z = -5 + 12i$. Пусть корень равен $x + yi$. Тогда $(x + yi)^2 = -5 + 12i$.

Модуль числа $|z| = \sqrt{(-5)^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = -5 \\ x^2 + y^2 = 13 \\ 2xy = 12\end{cases}$

Сложим первое и второе уравнения: $2x^2 = 8 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.

Вычтем первое уравнение из второго: $2y^2 = 18 \implies y^2 = 9 \implies y = \pm 3$.

Из условия $2xy = 12$ (или $xy = 6$) следует, что $x$ и $y$ должны иметь одинаковые знаки. Таким образом, у нас есть два возможных решения:

• Если $x = 2$, то $y = 3$, что дает корень $2 + 3i$.
• Если $x = -2$, то $y = -3$, что дает корень $-2 - 3i$.

Оба корня можно записать как $\pm(2 + 3i)$.

Ответ: $\pm(2 + 3i)$

в)

Найдем квадратный корень из комплексного числа $z = 6 + 8i$. Пусть корень равен $x + yi$. Тогда $(x + yi)^2 = 6 + 8i$.

Модуль числа $|z| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 6 \\ x^2 + y^2 = 10 \\ 2xy = 8\end{cases}$

Сложим первое и второе уравнения: $2x^2 = 16 \implies x^2 = 8 \implies x = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$.

Вычтем первое уравнение из второго: $2y^2 = 4 \implies y^2 = 2 \implies y = \pm \sqrt{2}$.

Из условия $2xy = 8$ (или $xy = 4$) следует, что $x$ и $y$ должны иметь одинаковые знаки. Таким образом, у нас есть два возможных решения:

• Если $x = 2\sqrt{2}$, то $y = \sqrt{2}$, что дает корень $2\sqrt{2} + i\sqrt{2}$.
• Если $x = -2\sqrt{2}$, то $y = -\sqrt{2}$, что дает корень $-2\sqrt{2} - i\sqrt{2}$.

Оба корня можно записать как $\pm(2\sqrt{2} + i\sqrt{2})$.

Ответ: $\pm(2\sqrt{2} + i\sqrt{2})$

г)

Найдем квадратный корень из комплексного числа $z = -15 - 8i$. Пусть корень равен $x + yi$. Тогда $(x + yi)^2 = -15 - 8i$.

Модуль числа $|z| = \sqrt{(-15)^2 + (-8)^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$.

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = -15 \\ x^2 + y^2 = 17 \\ 2xy = -8\end{cases}$

Сложим первое и второе уравнения: $2x^2 = 2 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.

Вычтем первое уравнение из второго: $2y^2 = 32 \implies y^2 = 16 \implies y = \pm 4$.

Из условия $2xy = -8$ (или $xy = -4$) следует, что $x$ и $y$ должны иметь разные знаки. Таким образом, у нас есть два возможных решения:

• Если $x = 1$, то $y = -4$, что дает корень $1 - 4i$.
• Если $x = -1$, то $y = 4$, что дает корень $-1 + 4i$.

Оба корня можно записать как $\pm(1 - 4i)$.

Ответ: $\pm(1 - 4i)$

34.26. a) $\sin 35^\circ - i \cos 35^\circ$;

б) $\sin (-23^\circ) + i \cos (-23^\circ)$;

В) $-\sin 40^\circ + i \cos 40^\circ$;

г) $\sin (-20^\circ) - i \sin (-70^\circ)$.

Для решения данных задач необходимо привести комплексные числа к тригонометрической форме $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$, где $r$ — модуль числа, а $\varphi$ — его аргумент. Во всех представленных задачах модуль $r=1$, так как сумма квадратов действительной и мнимой частей, представляющих собой $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$, равна 1. Основная задача — найти правильный аргумент $\varphi$.

а) $\sin 35^\circ - i \cos 35^\circ$

Пусть $z = \sin 35^\circ - i \cos 35^\circ$.
Сначала найдем модуль числа: $r = |z| = \sqrt{(\sin 35^\circ)^2 + (-\cos 35^\circ)^2} = \sqrt{\sin^2 35^\circ + \cos^2 35^\circ} = \sqrt{1} = 1$.
Теперь преобразуем выражение к стандартному виду, используя формулы приведения:
$\sin \alpha = \cos(90^\circ - \alpha)$
$\cos \alpha = \sin(90^\circ - \alpha)$
Применим их для $\alpha = 35^\circ$:
$\sin 35^\circ = \cos(90^\circ - 35^\circ) = \cos 55^\circ$
$\cos 35^\circ = \sin(90^\circ - 35^\circ) = \sin 55^\circ$
Подставим эти значения в исходное выражение:
$z = \cos 55^\circ - i \sin 55^\circ$
Чтобы получить стандартную форму $ \cos \varphi + i \sin \varphi $, воспользуемся свойствами четности косинуса и нечетности синуса:
$\cos(-\alpha) = \cos \alpha$
$\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$
Таким образом, мы можем записать:
$z = \cos(-55^\circ) + i \sin(-55^\circ)$
Аргумент числа $\varphi = -55^\circ$.
Ответ: $\cos(-55^\circ) + i \sin(-55^\circ)$.

б) $\sin(-23^\circ) + i \cos(-23^\circ)$

Пусть $z = \sin(-23^\circ) + i \cos(-23^\circ)$.
Упростим выражение, используя свойства четности и нечетности тригонометрических функций:
$\sin(-23^\circ) = -\sin 23^\circ$
$\cos(-23^\circ) = \cos 23^\circ$
Получаем: $z = -\sin 23^\circ + i \cos 23^\circ$.
Модуль числа $r=1$. Используем формулы приведения:
$\sin 23^\circ = \cos(90^\circ - 23^\circ) = \cos 67^\circ$
$\cos 23^\circ = \sin(90^\circ - 23^\circ) = \sin 67^\circ$
Подставляем в выражение для $z$:
$z = -\cos 67^\circ + i \sin 67^\circ$
Действительная часть отрицательна, а мнимая положительна, что соответствует углу во второй координатной четверти. Используем формулы приведения для второй четверти:
$\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$
$\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$
В нашем случае $\alpha = 67^\circ$, поэтому:
$z = \cos(180^\circ - 67^\circ) + i \sin(180^\circ - 67^\circ) = \cos 113^\circ + i \sin 113^\circ$
Аргумент числа $\varphi = 113^\circ$.
Ответ: $\cos 113^\circ + i \sin 113^\circ$.

в) $-\sin 40^\circ + i \cos 40^\circ$

Пусть $z = -\sin 40^\circ + i \cos 40^\circ$.
Модуль числа $r=1$. Преобразуем выражение с помощью формул приведения:
$\sin 40^\circ = \cos(90^\circ - 40^\circ) = \cos 50^\circ$
$\cos 40^\circ = \sin(90^\circ - 40^\circ) = \sin 50^\circ$
Подставляем в выражение для $z$:
$z = -\cos 50^\circ + i \sin 50^\circ$
Действительная часть отрицательна, мнимая положительна, что соответствует углу во второй четверти. Применяем формулы для второй четверти с $\alpha = 50^\circ$:
$z = \cos(180^\circ - 50^\circ) + i \sin(180^\circ - 50^\circ) = \cos 130^\circ + i \sin 130^\circ$
Аргумент числа $\varphi = 130^\circ$.
Ответ: $\cos 130^\circ + i \sin 130^\circ$.

г) $\sin(-20^\circ) - i \sin(-70^\circ)$

Пусть $z = \sin(-20^\circ) - i \sin(-70^\circ)$.
Упростим выражение, используя свойство нечетности синуса $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$:
$z = -\sin 20^\circ - i(-\sin 70^\circ) = -\sin 20^\circ + i \sin 70^\circ$.
Используем формулу приведения $\sin 70^\circ = \sin(90^\circ - 20^\circ) = \cos 20^\circ$:
$z = -\sin 20^\circ + i \cos 20^\circ$
Модуль числа $r=1$. Это выражение аналогично предыдущему пункту. Преобразуем его с помощью формул приведения:
$\sin 20^\circ = \cos(90^\circ - 20^\circ) = \cos 70^\circ$
$\cos 20^\circ = \sin(90^\circ - 20^\circ) = \sin 70^\circ$
Подставляем в выражение для $z$:
$z = -\cos 70^\circ + i \sin 70^\circ$
Действительная часть отрицательна, мнимая положительна (вторая четверть). Применяем формулы для второй четверти с $\alpha = 70^\circ$:
$z = \cos(180^\circ - 70^\circ) + i \sin(180^\circ - 70^\circ) = \cos 110^\circ + i \sin 110^\circ$
Аргумент числа $\varphi = 110^\circ$.
Ответ: $\cos 110^\circ + i \sin 110^\circ$.

34.27. a) $1 - \cos 100^\circ + i \sin 100^\circ;$

б) $\sin \frac{4\pi}{7} + i \left(1 - \cos \frac{4\pi}{7}\right);$

В) $\sin \frac{6\pi}{11} + i \left(1 - \cos \frac{6\pi}{11}\right);$

Г) $1 - \cos 250^\circ + i \sin 610^\circ.$

а) $1 - \cos 100^\circ + i \sin 100^\circ$

Обозначим данное комплексное число как $z$. Его действительная часть $x = 1 - \cos 100^\circ$, а мнимая часть $y = \sin 100^\circ$.

Для преобразования в тригонометрическую форму $z = r(\cos \phi + i \sin \phi)$ воспользуемся формулами половинного угла:

$1 - \cos \alpha = 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}$

$\sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}$

Применим эти формулы для $\alpha = 100^\circ$:

$x = 1 - \cos 100^\circ = 2 \sin^2 \frac{100^\circ}{2} = 2 \sin^2 50^\circ$

$y = \sin 100^\circ = 2 \sin \frac{100^\circ}{2} \cos \frac{100^\circ}{2} = 2 \sin 50^\circ \cos 50^\circ$

Таким образом, $z = 2 \sin^2 50^\circ + i(2 \sin 50^\circ \cos 50^\circ)$.

Теперь найдем модуль числа $r = |z|$:

$r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(2 \sin^2 50^\circ)^2 + (2 \sin 50^\circ \cos 50^\circ)^2} = \sqrt{4 \sin^4 50^\circ + 4 \sin^2 50^\circ \cos^2 50^\circ}$

$r = \sqrt{4 \sin^2 50^\circ (\sin^2 50^\circ + \cos^2 50^\circ)} = \sqrt{4 \sin^2 50^\circ} = 2 \sin 50^\circ$ (так как $50^\circ$ находится в первой четверти, $\sin 50^\circ > 0$).

Вынесем модуль за скобки, чтобы найти аргумент $\phi$:

$z = 2 \sin 50^\circ (\sin 50^\circ + i \cos 50^\circ)$

Сравнивая с тригонометрической формой $z = r(\cos \phi + i \sin \phi)$, получаем:

$\cos \phi = \sin 50^\circ$

$\sin \phi = \cos 50^\circ$

Используя формулы приведения $\sin \theta = \cos(90^\circ - \theta)$ и $\cos \theta = \sin(90^\circ - \theta)$, находим:

$\cos \phi = \cos(90^\circ - 50^\circ) = \cos 40^\circ$

$\sin \phi = \sin(90^\circ - 50^\circ) = \sin 40^\circ$

Отсюда следует, что аргумент $\phi = 40^\circ$.

Тригонометрическая форма числа:

$z = 2 \sin 50^\circ (\cos 40^\circ + i \sin 40^\circ)$

Ответ: $2 \sin 50^\circ (\cos 40^\circ + i \sin 40^\circ)$.

б) $\sin \frac{4\pi}{7} + i \left(1 - \cos \frac{4\pi}{7}\right)$

Обозначим данное комплексное число как $z$. Его действительная часть $x = \sin \frac{4\pi}{7}$, а мнимая часть $y = 1 - \cos \frac{4\pi}{7}$.

Воспользуемся формулами половинного угла. Пусть $\alpha = \frac{4\pi}{7}$, тогда $\frac{\alpha}{2} = \frac{2\pi}{7}$.

$x = \sin \frac{4\pi}{7} = 2 \sin \frac{2\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7}$

$y = 1 - \cos \frac{4\pi}{7} = 2 \sin^2 \frac{2\pi}{7}$

Таким образом, $z = 2 \sin \frac{2\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7} + i \left(2 \sin^2 \frac{2\pi}{7}\right)$.

Найдем модуль числа $r = |z|$:

$r = \sqrt{\left(2 \sin \frac{2\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7}\right)^2 + \left(2 \sin^2 \frac{2\pi}{7}\right)^2} = \sqrt{4 \sin^2 \frac{2\pi}{7} \cos^2 \frac{2\pi}{7} + 4 \sin^4 \frac{2\pi}{7}}$

$r = \sqrt{4 \sin^2 \frac{2\pi}{7} \left(\cos^2 \frac{2\pi}{7} + \sin^2 \frac{2\pi}{7}\right)} = \sqrt{4 \sin^2 \frac{2\pi}{7}} = 2 \sin \frac{2\pi}{7}$ (так как $0 < \frac{2\pi}{7} < \frac{\pi}{2}$, то $\sin \frac{2\pi}{7} > 0$).

Вынесем модуль за скобки:

$z = 2 \sin \frac{2\pi}{7} \left(\cos \frac{2\pi}{7} + i \sin \frac{2\pi}{7}\right)$

Сравнивая с тригонометрической формой $z = r(\cos \phi + i \sin \phi)$, получаем:

$\cos \phi = \cos \frac{2\pi}{7}$

$\sin \phi = \sin \frac{2\pi}{7}$

Отсюда следует, что аргумент $\phi = \frac{2\pi}{7}$.

Тригонометрическая форма числа:

$z = 2 \sin \frac{2\pi}{7} \left(\cos \frac{2\pi}{7} + i \sin \frac{2\pi}{7}\right)$

Ответ: $2 \sin \frac{2\pi}{7} \left(\cos \frac{2\pi}{7} + i \sin \frac{2\pi}{7}\right)$.

в) $\sin \frac{6\pi}{11} + i \left(1 - \cos \frac{6\pi}{11}\right)$

Данное выражение аналогично предыдущему. Обозначим $z = x + iy$, где $x = \sin \frac{6\pi}{11}$ и $y = 1 - \cos \frac{6\pi}{11}$.

Применим формулы половинного угла для $\alpha = \frac{6\pi}{11}$, тогда $\frac{\alpha}{2} = \frac{3\pi}{11}$.

$x = \sin \frac{6\pi}{11} = 2 \sin \frac{3\pi}{11} \cos \frac{3\pi}{11}$

$y = 1 - \cos \frac{6\pi}{11} = 2 \sin^2 \frac{3\pi}{11}$

Таким образом, $z = 2 \sin \frac{3\pi}{11} \cos \frac{3\pi}{11} + i \left(2 \sin^2 \frac{3\pi}{11}\right)$.

Найдем модуль числа $r = |z|$:

$r = \sqrt{\left(2 \sin \frac{3\pi}{11} \cos \frac{3\pi}{11}\right)^2 + \left(2 \sin^2 \frac{3\pi}{11}\right)^2} = \sqrt{4 \sin^2 \frac{3\pi}{11} \left(\cos^2 \frac{3\pi}{11} + \sin^2 \frac{3\pi}{11}\right)}$

$r = \sqrt{4 \sin^2 \frac{3\pi}{11}} = 2 \sin \frac{3\pi}{11}$ (так как $0 < \frac{3\pi}{11} < \frac{\pi}{2}$, то $\sin \frac{3\pi}{11} > 0$).

Вынесем модуль за скобки:

$z = 2 \sin \frac{3\pi}{11} \left(\cos \frac{3\pi}{11} + i \sin \frac{3\pi}{11}\right)$

Сравнивая с тригонометрической формой $z = r(\cos \phi + i \sin \phi)$, получаем, что аргумент $\phi = \frac{3\pi}{11}$.

Тригонометрическая форма числа:

$z = 2 \sin \frac{3\pi}{11} \left(\cos \frac{3\pi}{11} + i \sin \frac{3\pi}{11}\right)$

Ответ: $2 \sin \frac{3\pi}{11} \left(\cos \frac{3\pi}{11} + i \sin \frac{3\pi}{11}\right)$.

г) $1 - \cos 250^\circ + i \sin 610^\circ$

Сначала упростим аргумент синуса, используя периодичность функции $\sin x$ (период $360^\circ$):

$\sin 610^\circ = \sin(610^\circ - 360^\circ) = \sin 250^\circ$

Таким образом, комплексное число имеет вид $z = 1 - \cos 250^\circ + i \sin 250^\circ$.

Действительная часть $x = 1 - \cos 250^\circ$, мнимая часть $y = \sin 250^\circ$.

Применим формулы половинного угла для $\alpha = 250^\circ$, тогда $\frac{\alpha}{2} = 125^\circ$.

$x = 1 - \cos 250^\circ = 2 \sin^2 125^\circ$

$y = \sin 250^\circ = 2 \sin 125^\circ \cos 125^\circ$

Таким образом, $z = 2 \sin^2 125^\circ + i(2 \sin 125^\circ \cos 125^\circ)$.

Найдем модуль числа $r = |z|$:

$r = \sqrt{(2 \sin^2 125^\circ)^2 + (2 \sin 125^\circ \cos 125^\circ)^2} = \sqrt{4 \sin^4 125^\circ + 4 \sin^2 125^\circ \cos^2 125^\circ}$

$r = \sqrt{4 \sin^2 125^\circ (\sin^2 125^\circ + \cos^2 125^\circ)} = \sqrt{4 \sin^2 125^\circ} = 2 \sin 125^\circ$ (так как $90^\circ < 125^\circ < 180^\circ$, то $\sin 125^\circ > 0$).

Вынесем модуль за скобки:

$z = 2 \sin 125^\circ (\sin 125^\circ + i \cos 125^\circ)$

Сравнивая с тригонометрической формой $z = r(\cos \phi + i \sin \phi)$, получаем:

$\cos \phi = \sin 125^\circ$

$\sin \phi = \cos 125^\circ$

Используя формулы приведения:

$\cos \phi = \sin(90^\circ + 35^\circ) = \cos 35^\circ$

$\sin \phi = \cos(90^\circ + 35^\circ) = -\sin 35^\circ = \sin(-35^\circ)$

Из системы $\cos \phi = \cos 35^\circ$ и $\sin \phi = \sin(-35^\circ)$ следует, что $\phi = -35^\circ$ (или $325^\circ$).

Тригонометрическая форма числа:

$z = 2 \sin 125^\circ (\cos(-35^\circ) + i \sin(-35^\circ))$

Ответ: $2 \sin 125^\circ (\cos(-35^\circ) + i \sin(-35^\circ))$.

34.28. Представьте в алгебраической форме комплексное число:

а) $5\left(\cos \frac{5 \pi}{6}+i \sin \frac{5 \pi}{6}\right)$;

б) $\frac{1}{\cos \left(-\frac{\pi}{3}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right)}$;

в) $5\left(\cos \frac{2 \pi}{3}+i \sin \frac{2 \pi}{3}\right)$;

г) $\frac{1}{\cos \left(-\frac{3 \pi}{4}\right)+i \sin \left(-\frac{3 \pi}{4}\right)}$.

а) Чтобы представить комплексное число $z = 5 \left( \cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6} \right)$ в алгебраической форме $z = a + bi$, необходимо вычислить значения косинуса и синуса для данного угла и затем умножить их на модуль $r=5$.

Угол $\varphi = \frac{5\pi}{6}$ находится во второй координатной четверти. Вычислим значения тригонометрических функций:

$\cos \frac{5\pi}{6} = \cos \left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = -\cos \frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin \frac{5\pi}{6} = \sin \left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

Теперь подставим эти значения в исходное выражение для комплексного числа:

$z = 5 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} + i \cdot \frac{1}{2} \right)$

Раскрывая скобки, получаем алгебраическую форму:

$z = -\frac{5\sqrt{3}}{2} + i\frac{5}{2}$

Ответ: $-\frac{5\sqrt{3}}{2} + i\frac{5}{2}$

б) Дано комплексное число $z = \frac{1}{\cos(-\frac{\pi}{3}) + i \sin(-\frac{\pi}{3})}$.

Это число является обратным к комплексному числу, записанному в тригонометрической форме. Для комплексного числа $z_1 = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$ обратное ему число находится по формуле $\frac{1}{z_1} = \frac{1}{r}(\cos(-\varphi) + i \sin(-\varphi))$.

В нашем случае знаменатель $z_1 = \cos(-\frac{\pi}{3}) + i \sin(-\frac{\pi}{3})$ имеет модуль $r=1$ и аргумент $\varphi = -\frac{\pi}{3}$.

Тогда исходное число $z$ равно:

$z = \frac{1}{1}\left(\cos\left(-\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right) + i \sin\left(-\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)\right) = \cos\frac{\pi}{3} + i \sin\frac{\pi}{3}$

Вычислим значения косинуса и синуса для угла $\frac{\pi}{3}$:

$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставив вычисленные значения, получаем алгебраическую форму:

$z = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$

в) Чтобы представить комплексное число $z = 5 \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right)$ в алгебраической форме, вычислим значения тригонометрических функций для угла $\varphi = \frac{2\pi}{3}$.

Угол $\varphi = \frac{2\pi}{3}$ находится во второй координатной четверти.

$\cos \frac{2\pi}{3} = \cos \left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\cos \frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2}$

$\sin \frac{2\pi}{3} = \sin \left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$z = 5 \left( -\frac{1}{2} + i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$

Раскроем скобки, чтобы получить алгебраическую форму:

$z = -\frac{5}{2} + i\frac{5\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $-\frac{5}{2} + i\frac{5\sqrt{3}}{2}$

г) Дано комплексное число $z = \frac{1}{\cos(-\frac{3\pi}{4}) + i \sin(-\frac{3\pi}{4})}$.

Это число, обратное комплексному числу в тригонометрической форме. Знаменатель $z_1 = \cos(-\frac{3\pi}{4}) + i \sin(-\frac{3\pi}{4})$ имеет модуль $r=1$ и аргумент $\varphi = -\frac{3\pi}{4}$.

Используя формулу для обратного числа $\frac{1}{z_1} = \frac{1}{r}(\cos(-\varphi) + i \sin(-\varphi))$, получаем:

$z = \cos\left(-\left(-\frac{3\pi}{4}\right)\right) + i \sin\left(-\left(-\frac{3\pi}{4}\right)\right) = \cos\frac{3\pi}{4} + i \sin\frac{3\pi}{4}$

Угол $\varphi = \frac{3\pi}{4}$ находится во второй координатной четверти.

$\cos \frac{3\pi}{4} = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\cos\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin \frac{3\pi}{4} = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставив значения, получаем алгебраическую форму:

$z = -\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$