Номер 34.22, страница 200, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

34.22. a) $4 + 4i$;

б) $1 - i$;

в) $-2 + 2i$;

г) $-2 - 2i$.

а)
Для того чтобы представить комплексное число $z = 4 + 4i$ в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, необходимо найти его модуль $r$ и аргумент $\varphi$.
Действительная часть числа $x = 4$, мнимая часть $y = 4$.
Модуль комплексного числа вычисляется по формуле:
$r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$.
Аргумент $\varphi$ найдем из системы уравнений:
$\cos\varphi = \frac{x}{r} = \frac{4}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin\varphi = \frac{y}{r} = \frac{4}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Поскольку $\cos\varphi > 0$ и $\sin\varphi > 0$, угол $\varphi$ расположен в первой координатной четверти. Следовательно, аргумент $\varphi = \frac{\pi}{4}$.
Таким образом, тригонометрическая форма числа:
$z = 4\sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4})$.
Ответ: $4\sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4})$.

б)
Представим комплексное число $z = 1 - i$ в тригонометрической форме.
Действительная часть $x = 1$, мнимая часть $y = -1$.
Найдем модуль числа:
$r = |z| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
Найдем аргумент $\varphi$ из системы:
$\cos\varphi = \frac{x}{r} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin\varphi = \frac{y}{r} = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Поскольку $\cos\varphi > 0$ и $\sin\varphi < 0$, угол $\varphi$ расположен в четвертой координатной четверти. Следовательно, главное значение аргумента $\varphi = -\frac{\pi}{4}$.
Тригонометрическая форма числа:
$z = \sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}))$.
Ответ: $\sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}))$.

в)
Представим комплексное число $z = -2 + 2i$ в тригонометрической форме.
Действительная часть $x = -2$, мнимая часть $y = 2$.
Найдем модуль числа:
$r = |z| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
Найдем аргумент $\varphi$ из системы:
$\cos\varphi = \frac{x}{r} = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin\varphi = \frac{y}{r} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Поскольку $\cos\varphi < 0$ и $\sin\varphi > 0$, угол $\varphi$ расположен во второй координатной четверти. Следовательно, главное значение аргумента $\varphi = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
Тригонометрическая форма числа:
$z = 2\sqrt{2}(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4})$.
Ответ: $2\sqrt{2}(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4})$.

г)
Представим комплексное число $z = -2 - 2i$ в тригонометрической форме.
Действительная часть $x = -2$, мнимая часть $y = -2$.
Найдем модуль числа:
$r = |z| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
Найдем аргумент $\varphi$ из системы:
$\cos\varphi = \frac{x}{r} = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin\varphi = \frac{y}{r} = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Поскольку $\cos\varphi < 0$ и $\sin\varphi < 0$, угол $\varphi$ расположен в третьей координатной четверти. Следовательно, главное значение аргумента $\varphi = -\pi + \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4}$.
Тригонометрическая форма числа:
$z = 2\sqrt{2}(\cos(-\frac{3\pi}{4}) + i\sin(-\frac{3\pi}{4}))$.
Ответ: $2\sqrt{2}(\cos(-\frac{3\pi}{4}) + i\sin(-\frac{3\pi}{4}))$.