Номер 34.23, страница 200, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

34.23. а) $\sqrt{3} + i$;

б) $-\sqrt{3} + i$;

В) $3\sqrt{3} - 3i$;

Г) $-2\sqrt{3} - 2i$.

Для представления комплексного числа $z = x + yi$ в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ необходимо найти его модуль $r$ и аргумент $\varphi$. Модуль вычисляется по формуле $r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$, а аргумент $\varphi$ находится из системы уравнений $\cos\varphi = \frac{x}{r}$ и $\sin\varphi = \frac{y}{r}$.

а) Для комплексного числа $z = \sqrt{3} + i$ действительная часть $x = \sqrt{3}$, мнимая часть $y = 1$.

Найдем модуль числа $r$:

$r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Найдем аргумент $\varphi$, решив систему:

$\cos\varphi = \frac{x}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin\varphi = \frac{y}{r} = \frac{1}{2}$

Поскольку $\cos\varphi > 0$ и $\sin\varphi > 0$, угол $\varphi$ находится в первой координатной четверти. Следовательно, $\varphi = \frac{\pi}{6}$.

Тригонометрическая форма числа: $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) = 2(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})$.

Ответ: $2(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})$.

б) Для комплексного числа $z = -\sqrt{3} + i$ действительная часть $x = -\sqrt{3}$, мнимая часть $y = 1$.

Найдем модуль числа $r$:

$r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Найдем аргумент $\varphi$, решив систему:

$\cos\varphi = \frac{x}{r} = \frac{-\sqrt{3}}{2}$

$\sin\varphi = \frac{y}{r} = \frac{1}{2}$

Поскольку $\cos\varphi < 0$ и $\sin\varphi > 0$, угол $\varphi$ находится во второй координатной четверти. Следовательно, $\varphi = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Тригонометрическая форма числа: $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) = 2(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6})$.

Ответ: $2(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6})$.

в) Для комплексного числа $z = 3\sqrt{3} - 3i$ действительная часть $x = 3\sqrt{3}$, мнимая часть $y = -3$.

Найдем модуль числа $r$:

$r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + (-3)^2} = \sqrt{27 + 9} = \sqrt{36} = 6$.

Найдем аргумент $\varphi$, решив систему:

$\cos\varphi = \frac{x}{r} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin\varphi = \frac{y}{r} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$

Поскольку $\cos\varphi > 0$ и $\sin\varphi < 0$, угол $\varphi$ находится в четвертой координатной четверти. Следовательно, $\varphi = -\frac{\pi}{6}$ (или $\frac{11\pi}{6}$).

Тригонометрическая форма числа: $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) = 6(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{6}))$.

Ответ: $6(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{6}))$.

г) Для комплексного числа $z = -2\sqrt{3} - 2i$ действительная часть $x = -2\sqrt{3}$, мнимая часть $y = -2$.

Найдем модуль числа $r$:

$r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(-2\sqrt{3})^2 + (-2)^2} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4$.

Найдем аргумент $\varphi$, решив систему:

$\cos\varphi = \frac{x}{r} = \frac{-2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin\varphi = \frac{y}{r} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Поскольку $\cos\varphi < 0$ и $\sin\varphi < 0$, угол $\varphi$ находится в третьей координатной четверти. Следовательно, $\varphi = -\pi + \frac{\pi}{6} = -\frac{5\pi}{6}$ (или $\frac{7\pi}{6}$).

Тригонометрическая форма числа: $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) = 4(\cos(-\frac{5\pi}{6}) + i\sin(-\frac{5\pi}{6}))$.

Ответ: $4(\cos(-\frac{5\pi}{6}) + i\sin(-\frac{5\pi}{6}))$.