Номер 34.16, страница 199, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Изобразите на комплексной плоскости множество всех тех чисел, аргумент которых равен:

34.16. а) $\frac{\pi}{4}$;

б) $\frac{3\pi}{4}$ или $-\frac{\pi}{4}$;

в) $-\frac{3\pi}{4}$;

г) $-\frac{3\pi}{4}$ или $\frac{\pi}{4}$.

Для решения этой задачи вспомним, что любое комплексное число $z = x + iy$ (кроме $z=0$) можно представить в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$. Здесь $r = |z| = \sqrt{x^2+y^2}$ — это модуль числа, то есть расстояние от начала координат до точки, изображающей число $z$ на комплексной плоскости. Величина $\varphi = \arg(z)$ — это аргумент комплексного числа, который представляет собой угол, образованный радиус-вектором точки $z$ и положительным направлением действительной оси (оси $Ox$). Угол отсчитывается против часовой стрелки.

Множество всех комплексных чисел с одинаковым аргументом $\varphi$ образует на комплексной плоскости луч, исходящий из начала координат под углом $\varphi$ к положительной действительной полуоси. Само начало координат (точка $z=0$) не входит в это множество, так как аргумент нуля не определен.

a) $\frac{\pi}{4}$

Нужно изобразить множество всех комплексных чисел $z$, для которых $\arg(z) = \frac{\pi}{4}$. Угол $\varphi = \frac{\pi}{4}$ равен $45^\circ$. Все точки, соответствующие этим числам, лежат на луче, который выходит из начала координат под углом $45^\circ$ к положительному направлению действительной оси. Этот луч находится в первом координатном квадранте и является частью прямой $y=x$ (где $x$ - действительная часть, а $y$ - мнимая), для которой $x > 0$ и $y > 0$.

Ответ: Луч, исходящий из начала координат под углом $\frac{\pi}{4}$ к положительной действительной полуоси, не включая начало координат.

б) $\frac{3\pi}{4}$ или $-\frac{\pi}{4}$

В этом случае искомое множество является объединением двух множеств: чисел с аргументом $\frac{3\pi}{4}$ и чисел с аргументом $-\frac{\pi}{4}$.

1. Аргумент $\varphi_1 = \frac{3\pi}{4}$ соответствует углу $135^\circ$. Это луч, выходящий из начала координат и расположенный во втором координатном квадранте. Он лежит на прямой $y=-x$ для $x < 0$.

2. Аргумент $\varphi_2 = -\frac{\pi}{4}$ соответствует углу $-45^\circ$. Это луч, выходящий из начала координат и расположенный в четвертом координатном квадранте. Он лежит на той же прямой $y=-x$, но для $x > 0$.

Так как разность углов $\varphi_1 - \varphi_2 = \frac{3\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4}) = \pi$, эти два луча являются противоположно направленными и вместе образуют одну прямую линию, из которой удалена точка начала координат.

Ответ: Прямая $y=-x$ с выколотой точкой в начале координат.

в) $-\frac{3\pi}{4}$

Требуется изобразить множество всех комплексных чисел $z$, у которых $\arg(z) = -\frac{3\pi}{4}$. Угол $\varphi = -\frac{3\pi}{4}$ равен $-135^\circ$. Положительное значение этого угла равно $2\pi - \frac{3\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$, или $225^\circ$. Это луч, выходящий из начала координат под углом $-135^\circ$ к положительному направлению действительной оси. Он расположен в третьем координатном квадранте и является частью прямой $y=x$, для которой $x < 0$ и $y < 0$.

Ответ: Луч, исходящий из начала координат под углом $-\frac{3\pi}{4}$ к положительной действительной полуоси, не включая начало координат.

г) $-\frac{3\pi}{4}$ или $\frac{\pi}{4}$

Это множество является объединением двух множеств чисел: с аргументом $-\frac{3\pi}{4}$ и с аргументом $\frac{\pi}{4}$.

1. Аргумент $\varphi_1 = -\frac{3\pi}{4}$ (угол $-135^\circ$) соответствует лучу из пункта в), который расположен в третьем квадранте на прямой $y=x$ (для $x < 0$).

2. Аргумент $\varphi_2 = \frac{\pi}{4}$ (угол $45^\circ$) соответствует лучу из пункта а), который расположен в первом квадранте на прямой $y=x$ (для $x > 0$).

Разность углов $\varphi_2 - \varphi_1 = \frac{\pi}{4} - (-\frac{3\pi}{4}) = \pi$. Следовательно, эти два луча противоположно направлены. Вместе они образуют прямую $y=x$, из которой выколота точка начала координат.

Ответ: Прямая $y=x$ с выколотой точкой в начале координат.