Номер 34.12, страница 199, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Число z задано в тригонометрической форме. Укажите его стандартную тригонометрическую форму:

34.12. a) $z = \cos \frac{11\pi}{6} + i \sin \frac{11\pi}{6}$;

б) $z = \cos \left(-\frac{13\pi}{6}\right) + i \sin \left(-\frac{13\pi}{6}\right)$;

в) $z = \cos \frac{99\pi}{4} + i \sin \frac{99\pi}{4}$;

г) $z = \cos \left(-\frac{103\pi}{6}\right) + i \sin \left(-\frac{103\pi}{6}\right)$.

Стандартная тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$, где $r \ge 0$ — модуль числа, а $\varphi$ — его аргумент, который, как правило, является главным значением и принадлежит промежутку $(-\pi, \pi]$. Для приведения заданных чисел к стандартной форме необходимо найти главное значение их аргументов. Это делается путем прибавления или вычитания целого числа полных оборотов ($2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$) к исходному аргументу.

а) Дано комплексное число $z = \cos\frac{11\pi}{6} + i \sin\frac{11\pi}{6}$.

Модуль числа $r = 1$. Аргумент $\theta = \frac{11\pi}{6}$. Это значение не входит в промежуток $(-\pi, \pi]$. Чтобы найти главное значение аргумента $\varphi$, вычтем из $\theta$ период $2\pi$:

$\varphi = \frac{11\pi}{6} - 2\pi = \frac{11\pi - 12\pi}{6} = -\frac{\pi}{6}$.

Так как $-\pi < -\frac{\pi}{6} \le \pi$, это и есть главное значение аргумента.

Стандартная тригонометрическая форма:

$z = \cos(-\frac{\pi}{6}) + i \sin(-\frac{\pi}{6})$.

Ответ: $z = \cos(-\frac{\pi}{6}) + i \sin(-\frac{\pi}{6})$.

б) Дано комплексное число $z = \cos(-\frac{13\pi}{6}) + i \sin(-\frac{13\pi}{6})$.

Модуль $r = 1$. Аргумент $\theta = -\frac{13\pi}{6}$. Это значение не входит в промежуток $(-\pi, \pi]$. Чтобы найти главное значение аргумента $\varphi$, прибавим к $\theta$ период $2\pi$:

$\varphi = -\frac{13\pi}{6} + 2\pi = \frac{-13\pi + 12\pi}{6} = -\frac{\pi}{6}$.

Так как $-\pi < -\frac{\pi}{6} \le \pi$, это главное значение аргумента.

Стандартная тригонометрическая форма:

$z = \cos(-\frac{\pi}{6}) + i \sin(-\frac{\pi}{6})$.

Ответ: $z = \cos(-\frac{\pi}{6}) + i \sin(-\frac{\pi}{6})$.

в) Дано комплексное число $z = \cos\frac{99\pi}{4} + i \sin\frac{99\pi}{4}$.

Модуль $r = 1$. Аргумент $\theta = \frac{99\pi}{4}$. Чтобы найти главное значение, представим $\theta$ в виде $\theta = 2\pi k + \varphi$, где $\varphi \in (-\pi, \pi]$.

$\frac{99\pi}{4} = \frac{96\pi + 3\pi}{4} = \frac{96\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = 24\pi + \frac{3\pi}{4} = 12 \cdot 2\pi + \frac{3\pi}{4}$.

Отбросив $12$ полных оборотов, получаем главное значение аргумента $\varphi = \frac{3\pi}{4}$.

Стандартная тригонометрическая форма:

$z = \cos(\frac{3\pi}{4}) + i \sin(\frac{3\pi}{4})$.

Ответ: $z = \cos(\frac{3\pi}{4}) + i \sin(\frac{3\pi}{4})$.

г) Дано комплексное число $z = \cos(-\frac{103\pi}{6}) + i \sin(-\frac{103\pi}{6})$.

Модуль $r = 1$. Аргумент $\theta = -\frac{103\pi}{6}$. Найдем главное значение.

$-\frac{103\pi}{6} = -\frac{108\pi - 5\pi}{6} = -\frac{108\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} = -18\pi + \frac{5\pi}{6} = -9 \cdot 2\pi + \frac{5\pi}{6}$.

Отбросив $-9$ полных оборотов, получаем главное значение аргумента $\varphi = \frac{5\pi}{6}$.

Стандартная тригонометрическая форма:

$z = \cos(\frac{5\pi}{6}) + i \sin(\frac{5\pi}{6})$.

Ответ: $z = \cos(\frac{5\pi}{6}) + i \sin(\frac{5\pi}{6})$.