Номер 34.5, страница 198, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

34.5. При каком положительном значении параметра $a$ модуль данного числа равен 10:

а) $a + 8i;$

б) $2a + ai;$

в) $(a + 1) + (a - 1)i;$

г) $a + \frac{50i}{a}?$

Модуль комплексного числа $z = x + yi$ вычисляется по формуле $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$. По условию задачи, модуль каждого из данных чисел равен 10, а параметр $a$ — положительное число ($a>0$). Это означает, что для каждого случая мы будем решать уравнение $\sqrt{x^2 + y^2} = 10$, или, что эквивалентно, $x^2 + y^2 = 100$.

а) Для комплексного числа $z = a + 8i$ действительная часть $x = a$, а мнимая часть $y = 8$.

Подставим эти значения в уравнение для квадрата модуля:

$a^2 + 8^2 = 100$

$a^2 + 64 = 100$

$a^2 = 100 - 64$

$a^2 = 36$

Поскольку по условию $a > 0$, извлекаем положительный корень:

$a = \sqrt{36} = 6$

Ответ: $a=6$.

б) Для комплексного числа $z = 2a + ai$ действительная часть $x = 2a$, а мнимая часть $y = a$.

Подставим эти значения в уравнение:

$(2a)^2 + a^2 = 100$

$4a^2 + a^2 = 100$

$5a^2 = 100$

$a^2 = \frac{100}{5}$

$a^2 = 20$

Так как $a > 0$:

$a = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$

Ответ: $a=2\sqrt{5}$.

в) Для комплексного числа $z = (a + 1) + (a - 1)i$ действительная часть $x = a + 1$, а мнимая часть $y = a - 1$.

Подставим эти значения в уравнение:

$(a + 1)^2 + (a - 1)^2 = 100$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$(a^2 + 2a + 1) + (a^2 - 2a + 1) = 100$

$2a^2 + 2 = 100$

$2a^2 = 98$

$a^2 = 49$

Так как $a > 0$:

$a = \sqrt{49} = 7$

Ответ: $a=7$.

г) Для комплексного числа $z = a + \frac{50i}{a}$ действительная часть $x = a$, а мнимая часть $y = \frac{50}{a}$.

Подставим эти значения в уравнение:

$a^2 + (\frac{50}{a})^2 = 100$

$a^2 + \frac{2500}{a^2} = 100$

Умножим обе части уравнения на $a^2$ (это возможно, так как $a > 0$):

$a^4 + 2500 = 100a^2$

$a^4 - 100a^2 + 2500 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = a^2$. Поскольку $a > 0$, то $t > 0$.

$t^2 - 100t + 2500 = 0$

Заметим, что левая часть является полным квадратом:

$(t - 50)^2 = 0$

$t - 50 = 0$

$t = 50$

Вернемся к исходной переменной:

$a^2 = 50$

Так как $a > 0$:

$a = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$

Ответ: $a=5\sqrt{2}$.