Номер 33.22, страница 197, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Пусть комплексное число $z$ представлено в алгебраической форме $z = x + iy$, где $x, y \in \mathbb{R}$. Тогда комплексно сопряженное число равно $\bar{z} = x - iy$. Действительная и мнимая части числа $z$ и сопряженного ему $\bar{z}$ равны: $\operatorname{Re} z = x$, $\operatorname{Im} z = y$, $\operatorname{Re} \bar{z} = x$, $\operatorname{Im} \bar{z} = -y$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение $z \operatorname{Re} z = \bar{z} \operatorname{Im} \bar{z}$: $(x + iy)x = (x - iy)(-y)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения: $x^2 + ixy = -xy + iy^2$

Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части. Приравняем их:

• Действительная часть: $x^2 = -xy \implies x^2 + xy = 0 \implies x(x+y) = 0$.
• Мнимая часть: $xy = y^2 \implies xy - y^2 = 0 \implies y(x-y) = 0$.

Мы получили систему двух уравнений с двумя переменными: $\begin{cases} x(x+y) = 0 \\ y(x-y) = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения следует, что либо $x=0$, либо $x=-y$. Случай 1: $x=0$. Подставим это значение во второе уравнение: $y(0-y)=0$, что дает $-y^2=0$, откуда $y=0$. Таким образом, получаем решение $x=0, y=0$, что соответствует $z=0$. Случай 2: $x=-y$. Подставим это соотношение во второе уравнение: $y(-y-y)=0$, что дает $y(-2y)=0$ или $-2y^2=0$, откуда $y=0$. Если $y=0$, то и $x=-y=0$. Снова получаем решение $x=0, y=0$, то есть $z=0$.

В обоих случаях единственным решением является $z=0$.

Ответ: $z=0$.

Исходное уравнение: $z \operatorname{Re} \bar{z} = \bar{z} \operatorname{Im} z$. Используя представления $z = x+iy$, $\bar{z}=x-iy$, $\operatorname{Re} \bar{z} = x$ и $\operatorname{Im} z = y$, подставляем их в уравнение: $(x+iy)x = (x-iy)y$

Раскрываем скобки: $x^2 + ixy = xy - iy^2$

Приравниваем действительные и мнимые части:

• Действительная часть: $x^2 = xy \implies x^2 - xy = 0 \implies x(x-y) = 0$.
• Мнимая часть: $xy = -y^2 \implies xy + y^2 = 0 \implies y(x+y) = 0$.

Получаем систему уравнений: $\begin{cases} x(x-y) = 0 \\ y(x+y) = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения следует, что либо $x=0$, либо $x=y$. Случай 1: $x=0$. Подставим во второе уравнение: $y(0+y)=0$, что дает $y^2=0$, откуда $y=0$. Решение: $z=0$. Случай 2: $x=y$. Подставим во второе уравнение: $y(y+y)=0$, что дает $2y^2=0$, откуда $y=0$. Если $y=0$, то и $x=y=0$. Решение: $z=0$.

Единственным решением является $z=0$.

Ответ: $z=0$.

Исходное уравнение: $z \operatorname{Im} \bar{z} = \bar{z} \operatorname{Re} z$. Используя $z = x+iy$, $\bar{z}=x-iy$, $\operatorname{Im} \bar{z} = -y$ и $\operatorname{Re} z = x$, подставляем их в уравнение: $(x+iy)(-y) = (x-iy)x$

Раскрываем скобки: $-xy - iy^2 = x^2 - ixy$

Приравниваем действительные и мнимые части:

• Действительная часть: $-xy = x^2 \implies x^2 + xy = 0 \implies x(x+y) = 0$.
• Мнимая часть: $-y^2 = -xy \implies y^2 = xy \implies y(x-y) = 0$.

Получаем систему уравнений: $\begin{cases} x(x+y) = 0 \\ y(x-y) = 0 \end{cases}$ Эта система идентична системе из пункта а). Как мы уже показали, единственным решением этой системы является $x=0, y=0$.

Следовательно, единственное решение уравнения — это $z=0$.

Ответ: $z=0$.

Исходное уравнение: $z \operatorname{Re} z = \bar{z} \operatorname{Re} \bar{z}$. Используя $\operatorname{Re} z = x$ и $\operatorname{Re} \bar{z} = x$, подставляем их в уравнение: $z \cdot x = \bar{z} \cdot x$

Перенесем все члены в одну сторону: $zx - \bar{z}x = 0$ $x(z - \bar{z}) = 0$

Это уравнение выполняется в двух случаях: Случай 1: $x = 0$. Если действительная часть числа $z$ равна нулю ($x = \operatorname{Re} z = 0$), то $z$ является чисто мнимым числом: $z = iy$, где $y \in \mathbb{R}$. Это множество чисел, лежащих на мнимой оси.

Случай 2: $z - \bar{z} = 0$. Это означает, что $z = \bar{z}$. Условие $z = \bar{z}$ выполняется тогда и только тогда, когда $z$ является действительным числом. В самом деле, $(x+iy) = (x-iy) \implies 2iy = 0 \implies y=0$. Если мнимая часть числа $z$ равна нулю ($y = \operatorname{Im} z = 0$), то $z$ является действительным числом: $z=x$, где $x \in \mathbb{R}$. Это множество чисел, лежащих на действительной оси.

Таким образом, множество решений представляет собой объединение множества всех действительных чисел и множества всех чисто мнимых чисел. Геометрически это соответствует объединению действительной и мнимой осей на комплексной плоскости.

Ответ: Множество всех действительных и чисто мнимых чисел (объединение действительной и мнимой осей), то есть все $z=x+iy$ такие, что $x=0$ или $y=0$.