Номер 33.19, страница 197, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

33.19. а) Для $n = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ изобразите на координатной плоскости точки $z_n = (n + 1) + \frac{3}{n}i.$

б) Докажите, что все эти точки лежат на одной гиперболе; составьте уравнение гиперболы.

в) Укажите точку, наиболее близкую к оси абсцисс.

г) Укажите точку, наиболее близкую к началу координат.

а)

Комплексное число вида $z = x + iy$ изображается на координатной плоскости точкой с координатами $(x, y)$. В данном случае $z_n = (n + 1) + \frac{3}{n}i$. Следовательно, действительная часть числа соответствует координате $x_n = n + 1$, а мнимая часть — координате $y_n = \frac{3}{n}$.

Вычислим координаты точек для $n = 1, 2, 3, 4, 5, 6$:

• При $n=1$: $x_1 = 1+1 = 2$, $y_1 = \frac{3}{1} = 3$. Точка $Z_1(2; 3)$.
• При $n=2$: $x_2 = 2+1 = 3$, $y_2 = \frac{3}{2} = 1,5$. Точка $Z_2(3; 1,5)$.
• При $n=3$: $x_3 = 3+1 = 4$, $y_3 = \frac{3}{3} = 1$. Точка $Z_3(4; 1)$.
• При $n=4$: $x_4 = 4+1 = 5$, $y_4 = \frac{3}{4} = 0,75$. Точка $Z_4(5; 0,75)$.
• При $n=5$: $x_5 = 5+1 = 6$, $y_5 = \frac{3}{5} = 0,6$. Точка $Z_5(6; 0,6)$.
• При $n=6$: $x_6 = 6+1 = 7$, $y_6 = \frac{3}{6} = 0,5$. Точка $Z_6(7; 0,5)$.

Ответ: Координаты точек: $Z_1(2; 3)$, $Z_2(3; 1,5)$, $Z_3(4; 1)$, $Z_4(5; 0,75)$, $Z_5(6; 0,6)$, $Z_6(7; 0,5)$.

б)

Чтобы доказать, что все точки лежат на одной кривой, и найти ее уравнение, нужно исключить параметр $n$ из системы уравнений для координат:

$x = n + 1$

$y = \frac{3}{n}$

Из первого уравнения выразим $n$: $n = x - 1$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$y = \frac{3}{x - 1}$

Это уравнение является уравнением гиперболы. Поскольку координаты $(x_n, y_n)$ каждой точки $z_n$ удовлетворяют этому уравнению ($y_n = \frac{3}{n} = \frac{3}{(n+1)-1} = \frac{3}{x_n-1}$), все эти точки лежат на данной гиперболе.

Ответ: Уравнение гиперболы: $y = \frac{3}{x - 1}$.

в)

Расстояние от точки $(x, y)$ до оси абсцисс (оси Ox) равно $|y|$. Для наших точек $y_n = \frac{3}{n}$. Так как по условию $n$ — натуральное число, $y_n$ всегда положительно. Следовательно, расстояние равно $y_n = \frac{3}{n}$.

Чтобы найти точку, наиболее близкую к оси абсцисс, необходимо найти минимальное значение $y_n$ для $n \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Функция $y(n) = \frac{3}{n}$ является убывающей для $n > 0$. Значит, ее наименьшее значение на заданном множестве достигается при наибольшем значении $n$, то есть при $n=6$.

Эта точка — $z_6 = (6+1) + \frac{3}{6}i = 7 + 0,5i$.

Ответ: Точка, наиболее близкая к оси абсцисс: $z_6 = 7 + 0,5i$ или в координатах $Z_6(7; 0,5)$.

г)

Расстояние от точки $(x, y)$ до начала координат $(0, 0)$ равно $d = \sqrt{x^2 + y^2}$. Минимизация расстояния $d$ эквивалентна минимизации квадрата расстояния $d^2 = x^2 + y^2$.

Для наших точек $x_n = n+1$ и $y_n = \frac{3}{n}$. Квадрат расстояния от точки $Z_n$ до начала координат равен:

$d_n^2 = (n+1)^2 + \left(\frac{3}{n}\right)^2$

Вычислим значения $d_n^2$ для всех заданных $n$:

• При $n=1$: $d_1^2 = (1+1)^2 + (\frac{3}{1})^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$.
• При $n=2$: $d_2^2 = (2+1)^2 + (\frac{3}{2})^2 = 3^2 + (1,5)^2 = 9 + 2,25 = 11,25$.
• При $n=3$: $d_3^2 = (3+1)^2 + (\frac{3}{3})^2 = 4^2 + 1^2 = 16 + 1 = 17$.
• При $n=4$: $d_4^2 = (4+1)^2 + (\frac{3}{4})^2 = 5^2 + (0,75)^2 = 25 + 0,5625 = 25,5625$.
• При $n=5$: $d_5^2 = (5+1)^2 + (\frac{3}{5})^2 = 6^2 + (0,6)^2 = 36 + 0,36 = 36,36$.
• При $n=6$: $d_6^2 = (6+1)^2 + (\frac{3}{6})^2 = 7^2 + (0,5)^2 = 49 + 0,25 = 49,25$.

Сравнивая полученные значения, видим, что наименьшее значение квадрата расстояния равно $11,25$ и достигается при $n=2$.

Соответствующая точка — $z_2 = (2+1) + \frac{3}{2}i = 3 + 1,5i$.

Ответ: Точка, наиболее близкая к началу координат: $z_2 = 3 + 1,5i$ или в координатах $Z_2(3; 1,5)$.