Номер 33.14, страница 196, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

33.14. Изобразите на координатной плоскости числа $z_1 = 2 - 3i$ и $z_2 = -5 + 2i$, а также числа:

а) $\overline{z_1}$;

б) $\overline{-3z_2}$;

в) $\overline{z_1 + z_2}$;

г) $\overline{z_1 - 3z_2}$.

Даны комплексные числа $z_1 = 2 - 3i$ и $z_2 = -5 + 2i$.

Для изображения комплексного числа $z = a + bi$ на координатной плоскости используется точка с координатами $(a, b)$, где ось абсцисс является действительной осью (Re), а ось ординат — мнимой осью (Im).

Таким образом, числу $z_1$ соответствует точка с координатами $(2, -3)$, а числу $z_2$ — точка с координатами $(-5, 2)$.

Найдем и изобразим на координатной плоскости заданные числа.

а) $\overline{z_1}$

Комплексно-сопряженное число к $z = a + bi$ — это число $\overline{z} = a - bi$. Для числа $z_1 = 2 - 3i$ сопряженным будет:

$\overline{z_1} = \overline{2 - 3i} = 2 + 3i$.

Этому числу на координатной плоскости соответствует точка с координатами $(2, 3)$. Геометрически это точка, симметричная точке $z_1$ относительно действительной оси.

Ответ: Точка с координатами $(2, 3)$.

б) $\overline{-3z_2}$

Сначала вычислим выражение $-3z_2$:

$-3z_2 = -3(-5 + 2i) = 15 - 6i$.

Теперь найдем комплексно-сопряженное к полученному числу, используя свойство $\overline{k \cdot z} = k \cdot \overline{z}$ для действительного $k$ или прямое сопряжение:

$\overline{-3z_2} = \overline{15 - 6i} = 15 + 6i$.

Этому числу на координатной плоскости соответствует точка с координатами $(15, 6)$.

Ответ: Точка с координатами $(15, 6)$.

в) $\overline{z_1 + z_2}$

Сначала найдем сумму $z_1 + z_2$:

$z_1 + z_2 = (2 - 3i) + (-5 + 2i) = (2 - 5) + (-3 + 2)i = -3 - i$.

Теперь найдем комплексно-сопряженное к сумме, используя свойство $\overline{z_a + z_b} = \overline{z_a} + \overline{z_b}$ или прямое сопряжение:

$\overline{z_1 + z_2} = \overline{-3 - i} = -3 + i$.

Этому числу на координатной плоскости соответствует точка с координатами $(-3, 1)$.

Ответ: Точка с координатами $(-3, 1)$.

г) $\overline{z_1 - 3z_2}$

Сначала вычислим выражение $z_1 - 3z_2$:

$z_1 - 3z_2 = (2 - 3i) - 3(-5 + 2i) = (2 - 3i) - (-15 + 6i) = 2 - 3i + 15 - 6i = (2 + 15) + (-3 - 6)i = 17 - 9i$.

Теперь найдем комплексно-сопряженное к полученному числу:

$\overline{z_1 - 3z_2} = \overline{17 - 9i} = 17 + 9i$.

Этому числу на координатной плоскости соответствует точка с координатами $(17, 9)$.

Ответ: Точка с координатами $(17, 9)$.

Таким образом, для изображения на координатной плоскости необходимо отметить следующие точки:

Исходные числа:

$z_1 = 2 - 3i \rightarrow (2, -3)$

$z_2 = -5 + 2i \rightarrow (-5, 2)$

Вычисленные числа:

а) $\overline{z_1} = 2 + 3i \rightarrow (2, 3)$

б) $\overline{-3z_2} = 15 + 6i \rightarrow (15, 6)$

в) $\overline{z_1 + z_2} = -3 + i \rightarrow (-3, 1)$

г) $\overline{z_1 - 3z_2} = 17 + 9i \rightarrow (17, 9)$