Номер 33.18, страница 196, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

33.18. а) Для $n = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ изобразите на координатной плоскости точки $z_n = (n - 1) + (n^2 - 5n + 6)i$.

б) Докажите, что эти точки лежат на одной параболе; составьте уравнение параболы.

в) Найдите действительную часть суммы $z_1 + z_2 + ... + z_6$.

г) Укажите наименьший номер $n$, начиная с которого мнимая часть числа $z_n$ будет больше 100.

а) Комплексному числу $z_n = (n - 1) + (n^2 - 5n + 6)i$ на координатной плоскости соответствует точка с координатами $(x_n, y_n)$, где действительная часть $x_n = \text{Re}(z_n) = n - 1$ и мнимая часть $y_n = \text{Im}(z_n) = n^2 - 5n + 6$.

Вычислим координаты точек для $n = 1, 2, 3, 4, 5, 6$:

При $n = 1$: $x_1 = 1 - 1 = 0$, $y_1 = 1^2 - 5(1) + 6 = 2$. Точка $z_1$ соответствует точке $(0, 2)$.
При $n = 2$: $x_2 = 2 - 1 = 1$, $y_2 = 2^2 - 5(2) + 6 = 0$. Точка $z_2$ соответствует точке $(1, 0)$.
При $n = 3$: $x_3 = 3 - 1 = 2$, $y_3 = 3^2 - 5(3) + 6 = 0$. Точка $z_3$ соответствует точке $(2, 0)$.
При $n = 4$: $x_4 = 4 - 1 = 3$, $y_4 = 4^2 - 5(4) + 6 = 2$. Точка $z_4$ соответствует точке $(3, 2)$.
При $n = 5$: $x_5 = 5 - 1 = 4$, $y_5 = 5^2 - 5(5) + 6 = 6$. Точка $z_5$ соответствует точке $(4, 6)$.
При $n = 6$: $x_6 = 6 - 1 = 5$, $y_6 = 6^2 - 5(6) + 6 = 12$. Точка $z_6$ соответствует точке $(5, 12)$.

Эти шесть точек и есть искомое изображение на координатной плоскости.

Ответ: Точки на координатной плоскости: $(0, 2), (1, 0), (2, 0), (3, 2), (4, 6), (5, 12)$.

б) Чтобы доказать, что все точки $z_n$ лежат на одной параболе, нужно найти зависимость между их координатами $x$ и $y$, которая не зависит от параметра $n$.

Координаты точек заданы параметрически: $x = n - 1$ и $y = n^2 - 5n + 6$.

Из первого уравнения выразим параметр $n$: $n = x + 1$.

Подставим это выражение для $n$ во второе уравнение:

$y = (x + 1)^2 - 5(x + 1) + 6$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$y = (x^2 + 2x + 1) - (5x + 5) + 6$

$y = x^2 + 2x + 1 - 5x - 5 + 6$

$y = x^2 - 3x + 2$

Мы получили уравнение вида $y = ax^2 + bx + c$, которое является уравнением параболы. Поскольку координаты любой точки $z_n$ удовлетворяют этому уравнению, все эти точки лежат на данной параболе.

Ответ: Точки лежат на параболе, уравнение которой $y = x^2 - 3x + 2$.

в) Требуется найти действительную часть суммы $S = z_1 + z_2 + \dots + z_6$.

Действительная часть суммы комплексных чисел равна сумме их действительных частей:

$\text{Re}(S) = \text{Re}(z_1) + \text{Re}(z_2) + \dots + \text{Re}(z_6)$

Действительная часть числа $z_n$ равна $x_n = \text{Re}(z_n) = n - 1$.

Следовательно, нам нужно вычислить сумму действительных частей для $n$ от 1 до 6:

$\sum_{n=1}^{6} \text{Re}(z_n) = \sum_{n=1}^{6} (n - 1) = (1 - 1) + (2 - 1) + (3 - 1) + (4 - 1) + (5 - 1) + (6 - 1)$

$\sum_{n=1}^{6} (n - 1) = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$.

Ответ: Действительная часть суммы равна 15.

г) Необходимо найти наименьший натуральный номер $n$, начиная с которого мнимая часть числа $z_n$ будет больше 100.

Мнимая часть числа $z_n$ равна $y_n = \text{Im}(z_n) = n^2 - 5n + 6$.

Составим и решим неравенство:

$n^2 - 5n + 6 > 100$

$n^2 - 5n - 94 > 0$

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $n^2 - 5n - 94 = 0$, используя формулу для корней квадратного уравнения:

$n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(-94)}}{2(1)} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 376}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{401}}{2}$

Оценим значение $\sqrt{401}$. Поскольку $20^2 = 400$, то $\sqrt{401}$ немного больше 20.

Найдем приближенные значения корней:

$n_1 = \frac{5 - \sqrt{401}}{2} \approx \frac{5 - 20.025}{2} \approx -7.51$

$n_2 = \frac{5 + \sqrt{401}}{2} \approx \frac{5 + 20.025}{2} \approx 12.51$

Парабола $f(n) = n^2 - 5n - 94$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $f(n) > 0$ выполняется при $n < n_1$ или $n > n_2$.

Поскольку номер $n$ по условию является натуральным числом, нас интересует решение $n > n_2$, то есть $n > 12.51...$ .

Наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому условию, это $n = 13$.

Сделаем проверку:

При $n = 12$: $\text{Im}(z_{12}) = 12^2 - 5(12) + 6 = 144 - 60 + 6 = 90$. Это значение не больше 100.

При $n = 13$: $\text{Im}(z_{13}) = 13^2 - 5(13) + 6 = 169 - 65 + 6 = 110$. Это значение больше 100.

Ответ: Наименьший номер $n$ равен 13.