Номер 33.15, страница 196, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

33.15. а) Изобразите на координатной плоскости числа $z_1 = -3 + i$ и $z_2 = 5 + 2i$.

б) Найдите действительный коэффициент $a$, при котором $z_1 + az_2$ — чисто мнимое число.

в) По правилу параллелограмма постройте сумму чисел $z_1$ и $az_2$ из пункта б).

г) Найдите действительный коэффициент $a$, при котором $z_1 + az_2$ — действительное число; по правилу параллелограмма постройте сумму чисел $z_1$ и $az_2$.

а) Каждое комплексное число $z = x + yi$ можно представить на комплексной плоскости точкой с координатами $(x, y)$ или радиус-вектором, проведенным из начала координат в эту точку. Действительная часть числа откладывается по оси абсцисс (ось Re), а мнимая — по оси ординат (ось Im).

Для числа $z_1 = -3 + i$ действительная часть $x_1 = -3$, мнимая часть $y_1 = 1$. Это соответствует точке с координатами $(-3, 1)$.

Для числа $z_2 = 5 + 2i$ действительная часть $x_2 = 5$, мнимая часть $y_2 = 2$. Это соответствует точке с координатами $(5, 2)$.

Ответ: Изображение чисел $z_1$ и $z_2$ на комплексной плоскости представлено на рисунке.

б) Чтобы число $z_1 + az_2$ было чисто мнимым, его действительная часть должна быть равна нулю. Найдем выражение для этого числа, где $a$ — действительный коэффициент.

$z_1 + az_2 = (-3 + i) + a(5 + 2i) = -3 + i + 5a + 2ai$

Сгруппируем действительные и мнимые части:

$z_1 + az_2 = (-3 + 5a) + (1 + 2a)i$

Действительная часть $Re(z_1 + az_2) = -3 + 5a$. Приравняем ее к нулю:

$-3 + 5a = 0$

$5a = 3$

$a = \frac{3}{5}$

Ответ: $a = \frac{3}{5}$.

в) Для построения суммы $z_1 + az_2$ по правилу параллелограмма используем найденное в пункте б) значение $a = \frac{3}{5}$. Сначала вычислим комплексное число $az_2$:

$az_2 = \frac{3}{5}(5 + 2i) = 3 + \frac{6}{5}i = 3 + 1.2i$

Теперь нужно построить сумму векторов, соответствующих числам $z_1 = -3 + i$ и $az_2 = 3 + 1.2i$. Суммой будет диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах, исходящая из начала координат. Координаты конца вектора суммы равны $( -3+3, 1+1.2 ) = (0, 2.2)$.

$z_1 + az_2 = (-3+i) + (3+1.2i) = 0 + 2.2i$

Как и ожидалось, результат является чисто мнимым числом и лежит на мнимой оси.

Ответ: Построение суммы по правилу параллелограмма представлено на рисунке.

г) Чтобы число $z_1 + az_2$ было действительным, его мнимая часть должна быть равна нулю. Воспользуемся выражением из пункта б):

$z_1 + az_2 = (-3 + 5a) + (1 + 2a)i$

Мнимая часть $Im(z_1 + az_2) = 1 + 2a$. Приравняем ее к нулю:

$1 + 2a = 0$

$2a = -1$

$a = -\frac{1}{2}$

Теперь построим сумму $z_1 + az_2$ для $a = -\frac{1}{2}$. Вычислим $az_2$:

$az_2 = -\frac{1}{2}(5 + 2i) = -2.5 - i$

Складываем векторы $z_1 = -3 + i$ и $az_2 = -2.5 - i$. Координаты конца вектора суммы: $( -3-2.5, 1-1 ) = (-5.5, 0)$.

$z_1 + az_2 = (-3+i) + (-2.5-i) = -5.5$

Результат является действительным числом и лежит на действительной оси.

Ответ: Действительный коэффициент $a = -\frac{1}{2}$. Построение суммы чисел $z_1$ и $az_2$ по правилу параллелограмма представлено на рисунке.