Номер 33.8, страница 195, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

33.8. a) Отметьте на координатной плоскости точки, соответствующие комплексным числам $z_0 = 1, z_1 = 1 + i, z_2 = (1 + i)^2, z_3 = (1 + i)^3, \ldots, z_7 = (1 + i)^7$.

б) Чему равна величина угла: $\angle z_0Oz_1, \angle z_1Oz_2, \ldots, \angle z_6Oz_7, \angle z_7Oz_0$?

в) Перечислите все пары точек, лежащие по разные стороны от оси абсцисс. Сколько таких пар?

г) Запишите все числа, у которых произведение действительной и мнимой частей отрицательно. Сколько таких чисел?

а) Чтобы отметить на координатной плоскости точки, соответствующие заданным комплексным числам, необходимо найти их действительные ($Re$) и мнимые ($Im$) части. Комплексное число $z = x + iy$ соответствует точке с координатами $(x, y)$.

Вычислим значения $z_k = (1 + i)^k$ для $k$ от 0 до 7:

• $z_0 = (1 + i)^0 = 1$. Точка $Z_0$ имеет координаты $(1, 0)$.
• $z_1 = (1 + i)^1 = 1 + i$. Точка $Z_1$ имеет координаты $(1, 1)$.
• $z_2 = (1 + i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$. Точка $Z_2$ имеет координаты $(0, 2)$.
• $z_3 = (1 + i)^3 = z_2 \cdot (1 + i) = 2i(1 + i) = 2i + 2i^2 = -2 + 2i$. Точка $Z_3$ имеет координаты $(-2, 2)$.
• $z_4 = (1 + i)^4 = (z_2)^2 = (2i)^2 = 4i^2 = -4$. Точка $Z_4$ имеет координаты $(-4, 0)$.
• $z_5 = (1 + i)^5 = z_4 \cdot (1 + i) = -4(1 + i) = -4 - 4i$. Точка $Z_5$ имеет координаты $(-4, -4)$.
• $z_6 = (1 + i)^6 = z_4 \cdot z_2 = -4 \cdot 2i = -8i$. Точка $Z_6$ имеет координаты $(0, -8)$.
• $z_7 = (1 + i)^7 = z_6 \cdot (1 + i) = -8i(1 + i) = -8i - 8i^2 = 8 - 8i$. Точка $Z_7$ имеет координаты $(8, -8)$.

Для построения графика на координатной плоскости (ось абсцисс - действительная ось, ось ординат - мнимая ось) нужно отметить точки с полученными координатами.

Ответ: Точки, соответствующие данным комплексным числам, имеют следующие координаты на комплексной плоскости: $Z_0(1, 0)$, $Z_1(1, 1)$, $Z_2(0, 2)$, $Z_3(-2, 2)$, $Z_4(-4, 0)$, $Z_5(-4, -4)$, $Z_6(0, -8)$, $Z_7(8, -8)$.

б) Угол $\angle z_k O z_m$ между векторами, проведенными из начала координат $O$ к точкам, соответствующим комплексным числам $z_k$ и $z_m$, равен аргументу их частного: $\arg(z_m/z_k)$.

Для углов $\angle z_k O z_{k+1}$ (где $k$ от 0 до 6) частное равно:

$z_{k+1} / z_k = (1+i)^{k+1} / (1+i)^k = 1+i$.

Аргумент комплексного числа $1+i$ равен $\arg(1+i) = \arctan(1/1) = \pi/4$ радиан или $45^\circ$. Таким образом, все углы $\angle z_0Oz_1, \angle z_1Oz_2, \dots, \angle z_6Oz_7$ равны $\pi/4$.

Для последнего угла $\angle z_7 O z_0$ рассмотрим частное $z_0/z_7$:

$z_0 / z_7 = 1 / (8 - 8i) = \frac{1}{8(1-i)} = \frac{1 \cdot (1+i)}{8(1-i)(1+i)} = \frac{1+i}{8(1-i^2)} = \frac{1+i}{8(1-(-1))} = \frac{1+i}{16}$.

Аргумент этого числа $\arg(\frac{1+i}{16}) = \arg(1+i) = \pi/4$ радиан или $45^\circ$.

Следовательно, все указанные углы равны.

Ответ: Величина каждого из углов $\angle z_0Oz_1, \angle z_1Oz_2, \dots, \angle z_6Oz_7, \angle z_7Oz_0$ равна $\pi/4$ радиан или $45^\circ$.

в) Точки лежат по разные стороны от оси абсцисс (действительной оси), если их мнимые части имеют разные знаки. Точки, лежащие на самой оси, не рассматриваются.

Найдем мнимые части ($Im(z)$) для каждого числа:

• $Im(z_0) = 0$ (на оси)
• $Im(z_1) = 1 > 0$
• $Im(z_2) = 2 > 0$
• $Im(z_3) = 2 > 0$
• $Im(z_4) = 0$ (на оси)
• $Im(z_5) = -4 < 0$
• $Im(z_6) = -8 < 0$
• $Im(z_7) = -8 < 0$

Группа точек с положительной мнимой частью (выше оси абсцисс): $Z_1, Z_2, Z_3$ (3 точки).

Группа точек с отрицательной мнимой частью (ниже оси абсцисс): $Z_5, Z_6, Z_7$ (3 точки).

Чтобы составить пару, нужно взять одну точку из первой группы и одну из второй. Количество таких пар равно $3 \times 3 = 9$.

Перечислим все пары:

$(Z_1, Z_5), (Z_1, Z_6), (Z_1, Z_7)$

$(Z_2, Z_5), (Z_2, Z_6), (Z_2, Z_7)$

$(Z_3, Z_5), (Z_3, Z_6), (Z_3, Z_7)$

Ответ: Существует 9 таких пар: $(Z_1, Z_5), (Z_1, Z_6), (Z_1, Z_7), (Z_2, Z_5), (Z_2, Z_6), (Z_2, Z_7), (Z_3, Z_5), (Z_3, Z_6), (Z_3, Z_7)$.

г) Произведение действительной ($x_k$) и мнимой ($y_k$) частей комплексного числа $z_k = x_k + iy_k$ отрицательно, если $x_k \cdot y_k < 0$. Это означает, что $x_k$ и $y_k$ должны иметь разные знаки. Такие точки находятся во II или IV координатных четвертях.

Проверим это условие для каждого числа:

• $z_0 = 1 + 0i \implies 1 \cdot 0 = 0$
• $z_1 = 1 + 1i \implies 1 \cdot 1 = 1 > 0$
• $z_2 = 0 + 2i \implies 0 \cdot 2 = 0$
• $z_3 = -2 + 2i \implies (-2) \cdot 2 = -4 < 0$ (условие выполняется)
• $z_4 = -4 + 0i \implies (-4) \cdot 0 = 0$
• $z_5 = -4 - 4i \implies (-4) \cdot (-4) = 16 > 0$
• $z_6 = 0 - 8i \implies 0 \cdot (-8) = 0$
• $z_7 = 8 - 8i \implies 8 \cdot (-8) = -64 < 0$ (условие выполняется)

Условию удовлетворяют два числа: $z_3$ и $z_7$.

Ответ: Числа, у которых произведение действительной и мнимой частей отрицательно: $z_3 = -2 + 2i$ и $z_7 = 8 - 8i$. Всего таких чисел 2.