Номер 33.7, страница 195, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

33.7. a) $ |Re z| - |Im z| = 1; $

б) $ (Re z)^2 = Im z + 1; $

в) $ (Re z)^2 = Im z - 1; $

г) $ (Re z)(Im z) = 1. $

Для решения данных задач представим комплексное число $z$ в алгебраической форме $z = x + iy$, где $x = \text{Re } z$ — действительная часть, а $y = \text{Im } z$ — мнимая часть. Геометрически комплексное число $z$ изображается точкой с координатами $(x, y)$ на комплексной плоскости.

а) $|\text{Re } z| - |\text{Im } z| = 1$

Подставим $x = \text{Re } z$ и $y = \text{Im } z$ в уравнение:

$|x| - |y| = 1$.

Это уравнение задает на комплексной плоскости (эквивалентной координатной плоскости $Oxy$) множество точек, удовлетворяющих данному условию. Выразим $|y|$:

$|y| = |x| - 1$.

Поскольку модуль числа всегда неотрицателен, т.е. $|y| \ge 0$, то должно выполняться условие $|x| - 1 \ge 0$, что эквивалентно $|x| \ge 1$. Это означает, что $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $x \ge 1$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид $|y| = x - 1$. Раскрывая модуль $y$, получаем два уравнения: $y = x - 1$ и $y = -(x - 1) = -x + 1$. Геометрически это два луча, исходящие из точки $(1, 0)$, с угловыми коэффициентами $1$ и $-1$.
2. Если $x \le -1$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид $|y| = -x - 1$. Раскрывая модуль $y$, получаем два уравнения: $y = -x - 1$ и $y = -(-x - 1) = x + 1$. Геометрически это два луча, исходящие из точки $(-1, 0)$, с угловыми коэффициентами $-1$ и $1$.

Таким образом, искомое множество точек представляет собой объединение четырех лучей.

Ответ: Множество точек на комплексной плоскости, заданное уравнением, представляет собой объединение лучей, являющихся частями прямых $y = x - 1$ и $y = -x + 1$ при $x \ge 1$, и частями прямых $y = x + 1$ и $y = -x - 1$ при $x \le -1$.

б) $(\text{Re } z)^2 = \text{Im } z + 1$

Подставляем $x = \text{Re } z$ и $y = \text{Im } z$ в уравнение:

$x^2 = y + 1$.

Выразим $y$ через $x$:

$y = x^2 - 1$.

Это уравнение параболы на координатной плоскости $Oxy$. Вершина параболы находится в точке $(0, -1)$, а ветви направлены вверх. Парабола пересекает ось абсцисс ($Ox$) в точках, где $y=0$, то есть $x^2 - 1 = 0$, откуда $x = \pm 1$. Точки пересечения: $(1, 0)$ и $(-1, 0)$.

Ответ: Множество точек на комплексной плоскости является параболой, заданной уравнением $y = x^2 - 1$, где $x = \text{Re } z$ и $y = \text{Im } z$.

в) $(\text{Re } z)^2 = \text{Im } z - 1$

Подставляем $x = \text{Re } z$ и $y = \text{Im } z$ в уравнение:

$x^2 = y - 1$.

Выразим $y$ через $x$:

$y = x^2 + 1$.

Это уравнение параболы на координатной плоскости $Oxy$. Вершина параболы находится в точке $(0, 1)$, а ветви направлены вверх. Поскольку $x^2 + 1 \ge 1$ для любого действительного $x$, парабола не пересекает ось абсцисс ($Ox$). Она пересекает ось ординат ($Oy$) в своей вершине $(0, 1)$.

Ответ: Множество точек на комплексной плоскости является параболой, заданной уравнением $y = x^2 + 1$, где $x = \text{Re } z$ и $y = \text{Im } z$.

г) $(\text{Re } z)(\text{Im } z) = 1$

Подставляем $x = \text{Re } z$ и $y = \text{Im } z$ в уравнение:

$xy = 1$.

Выразим $y$ через $x$:

$y = \frac{1}{x}$.

Это уравнение равнобочной гиперболы на координатной плоскости $Oxy$. Асимптотами гиперболы являются координатные оси $x=0$ и $y=0$. Ветви гиперболы расположены в первом и третьем координатных квадрантах.

Ответ: Множество точек на комплексной плоскости является гиперболой, заданной уравнением $y = 1/x$, где $x = \text{Re } z$ и $y = \text{Im } z$.