Номер 32.38, страница 193, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

32.38. Среди корней уравнения $\bar{z} + 1 = \frac{1}{z + 1}$ найдите корень:

а) у которого действительная часть наименьшая;

б) у которого мнимая часть наименьшая;

в) который ближе всего расположен к началу координат;

г) который ближе всего расположен к числу $i$.

Сначала решим данное уравнение. Пусть $z = x + iy$, где $x$ и $y$ — действительные числа. Тогда комплексно-сопряженное число $\bar{z} = x - iy$.

Исходное уравнение: $\bar{z} + 1 = \frac{1}{z+1}$.

Область допустимых значений: $z+1 \neq 0$, то есть $z \neq -1$.

Подставим $z$ и $\bar{z}$ в уравнение:

$(x - iy) + 1 = \frac{1}{(x + iy) + 1}$

$(x+1) - iy = \frac{1}{(x+1) + iy}$

Умножим обе части на $(x+1) + iy$ (так как $z \neq -1$, то это выражение не равно нулю):

$((x+1) - iy)((x+1) + iy) = 1$

Используя формулу $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ и то, что $i^2=-1$, получаем:

$(x+1)^2 - (iy)^2 = 1$

$(x+1)^2 + y^2 = 1$

Это уравнение окружности в комплексной плоскости с центром в точке $C(-1, 0)$ (что соответствует комплексному числу $z_c = -1$) и радиусом $R=1$.

Таким образом, множество корней уравнения — это все точки на окружности с центром в $z_c = -1$ и радиусом 1.

а) у которого действительная часть наименьшая;

Действительная часть комплексного числа $z = x+iy$ — это координата $x$. Мы ищем точку на окружности $(x+1)^2 + y^2 = 1$ с наименьшим значением $x$. Для окружности с центром в $(-1, 0)$ и радиусом 1, значения $x$ лежат в диапазоне $[x_c - R, x_c + R] = [-1-1, -1+1] = [-2, 0]$.

Наименьшее значение $x$ равно $-2$. Это достигается, когда $y=0$. Подставив $x=-2$ в уравнение окружности, получаем $(-2+1)^2 + y^2 = 1 \implies (-1)^2 + y^2 = 1 \implies 1+y^2=1 \implies y=0$.

Таким образом, искомый корень — это $z = x + iy = -2 + i \cdot 0 = -2$.

Ответ: $z = -2$.

б) у которого мнимая часть наименьшая;

Мнимая часть комплексного числа $z = x+iy$ — это координата $y$. Мы ищем точку на окружности $(x+1)^2 + y^2 = 1$ с наименьшим значением $y$. Для окружности с центром в $(-1, 0)$ и радиусом 1, значения $y$ лежат в диапазоне $[y_c - R, y_c + R] = [0-1, 0+1] = [-1, 1]$.

Наименьшее значение $y$ равно $-1$. Это достигается, когда $x$ равен абсциссе центра, то есть $x=-1$. Подставив $y=-1$ в уравнение окружности, получаем $(x+1)^2 + (-1)^2 = 1 \implies (x+1)^2 + 1 = 1 \implies (x+1)^2=0 \implies x=-1$.

Таким образом, искомый корень — это $z = x + iy = -1 + i \cdot (-1) = -1 - i$.

Ответ: $z = -1 - i$.

в) который ближе всего расположен к началу координат;

Расстояние от корня $z = x+iy$ до начала координат $(0,0)$ равно $|z| = \sqrt{x^2+y^2}$. Нам нужно найти точку на окружности $(x+1)^2+y^2=1$, для которой это расстояние минимально.

Геометрически, начало координат, точка $(0,0)$, удовлетворяет уравнению окружности: $(0+1)^2+0^2=1^2=1$. Это означает, что начало координат лежит на самой окружности.

Следовательно, расстояние до начала координат для этого корня равно 0, что является наименьшим возможным расстоянием. Этот корень — $z=0$.

Ответ: $z = 0$.

г) который ближе всего расположен к числу i.

Нам нужно найти корень $z$, для которого расстояние $|z - i|$ минимально. Числу $i$ соответствует точка $P(0,1)$ на комплексной плоскости. Мы ищем точку на окружности $(x+1)^2+y^2=1$ (с центром $C(-1,0)$ и радиусом $R=1$), ближайшую к точке $P(0,1)$.

Геометрически, ближайшая точка на окружности к внешней точке $P$ лежит на прямой, соединяющей центр окружности $C$ и точку $P$.

Уравнение прямой, проходящей через $C(-1,0)$ и $P(0,1)$, имеет вид $y = x+1$.

Найдем точки пересечения этой прямой с окружностью, подставив $y=x+1$ в уравнение окружности:

$(x+1)^2 + (x+1)^2 = 1$

$2(x+1)^2 = 1$

$(x+1)^2 = \frac{1}{2}$

$x+1 = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

$x = -1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Соответствующие значения $y$ равны $y = x+1 = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Получаем две точки пересечения: $z_1 = (-1 + \frac{\sqrt{2}}{2}) + i\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $z_2 = (-1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) - i\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Точка $P(0,1)$ находится "сверху-справа" от центра окружности $C(-1,0)$. Ближайшей к ней будет точка пересечения с положительной мнимой частью, то есть $z_1$.

Таким образом, искомый корень — это $z = -1 + \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $z = -1 + \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$.