Номер 32.32, страница 192, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

32.32. Для комплексного числа $z$ найдите сопряжённое число $\bar{z}$

и вычислите произведение $z\bar{z}$ и частное $\frac{\bar{z}}{z}$:

а) $z = i;$

б) $z = -i;$

в) $z = 3 - 7i;$

г) $z = -5 - 6i.$

Для решения задачи воспользуемся определениями сопряженного комплексного числа, произведения и частного комплексных чисел. Для комплексного числа $z = a + bi$, где $a$ и $b$ - действительные числа, сопряженное число равно $\bar{z} = a - bi$.

а) $z = i$

Запишем число $z$ в алгебраической форме: $z = 0 + 1 \cdot i$.

1. Находим сопряженное число $\bar{z}$. Для этого меняем знак у мнимой части:

$\bar{z} = 0 - 1 \cdot i = -i$.

2. Вычисляем произведение $z\bar{z}$:

$z\bar{z} = i \cdot (-i) = -i^2 = -(-1) = 1$.

3. Вычисляем частное $\frac{\bar{z}}{z}$:

$\frac{\bar{z}}{z} = \frac{-i}{i} = -1$.

Ответ: $\bar{z} = -i$; $z\bar{z} = 1$; $\frac{\bar{z}}{z} = -1$.

б) $z = -i$

Запишем число $z$ в алгебраической форме: $z = 0 - 1 \cdot i$.

1. Находим сопряженное число $\bar{z}$. Меняем знак у мнимой части:

$\bar{z} = 0 + 1 \cdot i = i$.

2. Вычисляем произведение $z\bar{z}$:

$z\bar{z} = (-i) \cdot i = -i^2 = -(-1) = 1$.

3. Вычисляем частное $\frac{\bar{z}}{z}$:

$\frac{\bar{z}}{z} = \frac{i}{-i} = -1$.

Ответ: $\bar{z} = i$; $z\bar{z} = 1$; $\frac{\bar{z}}{z} = -1$.

в) $z = 3 - 7i$

1. Находим сопряженное число $\bar{z}$. Меняем знак у мнимой части:

$\bar{z} = 3 + 7i$.

2. Вычисляем произведение $z\bar{z}$. Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$z\bar{z} = (3 - 7i)(3 + 7i) = 3^2 - (7i)^2 = 9 - 49i^2 = 9 - 49(-1) = 9 + 49 = 58$.

3. Вычисляем частное $\frac{\bar{z}}{z}$. Для этого умножаем числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю:

$\frac{\bar{z}}{z} = \frac{3 + 7i}{3 - 7i} = \frac{(3 + 7i)(3 + 7i)}{(3 - 7i)(3 + 7i)} = \frac{3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 7i + (7i)^2}{3^2 + 7^2} = \frac{9 + 42i + 49i^2}{9 + 49} = \frac{9 + 42i - 49}{58} = \frac{-40 + 42i}{58} = -\frac{40}{58} + \frac{42}{58}i = -\frac{20}{29} + \frac{21}{29}i$.

Ответ: $\bar{z} = 3 + 7i$; $z\bar{z} = 58$; $\frac{\bar{z}}{z} = -\frac{20}{29} + \frac{21}{29}i$.

г) $z = -5 - 6i$

1. Находим сопряженное число $\bar{z}$. Меняем знак у мнимой части:

$\bar{z} = -5 + 6i$.

2. Вычисляем произведение $z\bar{z}$:

$z\bar{z} = (-5 - 6i)(-5 + 6i) = (-5)^2 - (6i)^2 = 25 - 36i^2 = 25 - 36(-1) = 25 + 36 = 61$.

3. Вычисляем частное $\frac{\bar{z}}{z}$. Умножаем числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю:

$\frac{\bar{z}}{z} = \frac{-5 + 6i}{-5 - 6i} = \frac{(-5 + 6i)(-5 + 6i)}{(-5 - 6i)(-5 + 6i)} = \frac{(-5)^2 + 2(-5)(6i) + (6i)^2}{(-5)^2 + 6^2} = \frac{25 - 60i + 36i^2}{25 + 36} = \frac{25 - 60i - 36}{61} = \frac{-11 - 60i}{61} = -\frac{11}{61} - \frac{60}{61}i$.

Ответ: $\bar{z} = -5 + 6i$; $z\bar{z} = 61$; $\frac{\bar{z}}{z} = -\frac{11}{61} - \frac{60}{61}i$.