Номер 32.34, страница 193, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

32.34. Дано: $z_1 = 1 - i$; $z_2 = 4 + i$. Найдите:

а) $\frac{z_1}{\overline{z_2}}$;

б) $\frac{z_1^2}{(\overline{z_2})^2}$;

в) $\frac{\overline{z_1}}{z_2}$;

г) $\frac{(\overline{z_1})^2}{z_2}$.

Даны комплексные числа $z_1 = 1 - i$ и $z_2 = 4 + i$. Для решения задач нам также понадобятся комплексно-сопряженные к ним числа: $\bar{z_1} = 1 + i$ и $\bar{z_2} = 4 - i$.

а) $\frac{z_1}{\bar{z_2}}$.Подставим значения $z_1 = 1 - i$ и $\bar{z_2} = 4 - i$. Для выполнения деления умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, то есть на $4 + i$. В результате получим:$\frac{1 - i}{4 - i} = \frac{(1 - i)(4 + i)}{(4 - i)(4 + i)} = \frac{1 \cdot 4 + 1 \cdot i - i \cdot 4 - i^2}{4^2 - i^2} = \frac{4 + i - 4i - (-1)}{16 - (-1)} = \frac{5 - 3i}{17} = \frac{5}{17} - \frac{3}{17}i$.
Ответ: $\frac{5}{17} - \frac{3}{17}i$.

б) $\frac{z_1^2}{(\bar{z_2})^2}$.Это выражение равно $(\frac{z_1}{\bar{z_2}})^2$, поэтому мы можем возвести в квадрат результат, полученный в пункте а):$(\frac{5}{17} - \frac{3}{17}i)^2 = \frac{1}{17^2}(5 - 3i)^2 = \frac{1}{289}(5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3i + (3i)^2) = \frac{1}{289}(25 - 30i + 9i^2) = \frac{1}{289}(25 - 30i - 9) = \frac{16 - 30i}{289} = \frac{16}{289} - \frac{30}{289}i$.
Ответ: $\frac{16}{289} - \frac{30}{289}i$.

в) $\frac{\bar{z_1}}{z_2}$.Подставим значения $\bar{z_1} = 1 + i$ и $z_2 = 4 + i$. Умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, то есть на $4 - i$:$\frac{1 + i}{4 + i} = \frac{(1 + i)(4 - i)}{(4 + i)(4 - i)} = \frac{1 \cdot 4 - 1 \cdot i + i \cdot 4 - i^2}{4^2 - i^2} = \frac{4 - i + 4i - (-1)}{16 - (-1)} = \frac{5 + 3i}{17} = \frac{5}{17} + \frac{3}{17}i$.
Ответ: $\frac{5}{17} + \frac{3}{17}i$.

г) $\frac{(\bar{z_1})^2}{z_2}$.Сначала вычислим числитель: $(\bar{z_1})^2 = (1 + i)^2 = 1^2 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$. Теперь разделим результат на $z_2$: $\frac{2i}{4 + i}$. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю число $4-i$:$\frac{2i(4 - i)}{(4 + i)(4 - i)} = \frac{8i - 2i^2}{4^2 - i^2} = \frac{8i - 2(-1)}{16 - (-1)} = \frac{2 + 8i}{17} = \frac{2}{17} + \frac{8}{17}i$.
Ответ: $\frac{2}{17} + \frac{8}{17}i$.