Номер 33.2, страница 194, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

33.2. a) Отметьте на координатной плоскости точки, соответствующие комплексным числам $z_1 = -5 - 4i$, $z_2 = 1 + 8i$, $z_3 = -2 - 4i$, $z_4 = 8 + i$, $z_5 = -1 - 8i$.

б) Соедините заданные точки последовательно отрезками. Сколько получилось точек пересечения с осями координат? Запишите комплексные числа, которым соответствуют эти точки.

а)

Комплексному числу $z = x + iy$ на координатной плоскости соответствует точка с координатами $(x, y)$, где ось абсцисс является действительной осью (Re), а ось ординат — мнимой осью (Im).

Найдем координаты точек, соответствующих заданным комплексным числам:

Для $z_1 = -5 - 4i$ действительная часть $x_1 = -5$, мнимая часть $y_1 = -4$. Соответствующая точка $A_1$ имеет координаты $(-5, -4)$.

Для $z_2 = 1 + 8i$ действительная часть $x_2 = 1$, мнимая часть $y_2 = 8$. Соответствующая точка $A_2$ имеет координаты $(1, 8)$.

Для $z_3 = -2 - 4i$ действительная часть $x_3 = -2$, мнимая часть $y_3 = -4$. Соответствующая точка $A_3$ имеет координаты $(-2, -4)$.

Для $z_4 = 8 + i$ действительная часть $x_4 = 8$, мнимая часть $y_4 = 1$. Соответствующая точка $A_4$ имеет координаты $(8, 1)$.

Для $z_5 = -1 - 8i$ действительная часть $x_5 = -1$, мнимая часть $y_5 = -8$. Соответствующая точка $A_5$ имеет координаты $(-1, -8)$.

Эти точки необходимо отметить на координатной плоскости в соответствии с их координатами.

Ответ: Точки, соответствующие заданным комплексным числам, имеют следующие координаты на комплексной плоскости: $A_1(-5, -4)$, $A_2(1, 8)$, $A_3(-2, -4)$, $A_4(8, 1)$, $A_5(-1, -8)$.

б)

Соединим точки последовательно отрезками: $A_1A_2$, $A_2A_3$, $A_3A_4$ и $A_4A_5$. Чтобы найти точки пересечения этих отрезков с осями координат, мы найдем точки пересечения прямых, содержащих эти отрезки, с действительной осью $Ox$ (где $y=0$) и мнимой осью $Oy$ (где $x=0$), а затем проверим, принадлежат ли найденные точки соответствующим отрезкам.

Отрезок $A_1A_2$ с концами в точках $A_1(-5, -4)$ и $A_2(1, 8)$.

Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, имеет вид $\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$.

Для отрезка $A_1A_2$ получаем: $\frac{y - (-4)}{8 - (-4)} = \frac{x - (-5)}{1 - (-5)}$, что упрощается до $\frac{y + 4}{12} = \frac{x + 5}{6}$. Отсюда $y + 4 = 2(x+5)$, и окончательно $y = 2x + 6$.

Пересечение с мнимой осью (Oy, $x=0$): $y = 2(0) + 6 = 6$. Точка пересечения $(0, 6)$. Координаты точки удовлетворяют условиям принадлежности отрезку ($-5 \le 0 \le 1$ и $-4 \le 6 \le 8$). Этому соответствует комплексное число $z = 6i$.

Пересечение с действительной осью (Ox, $y=0$): $0 = 2x + 6$, откуда $x = -3$. Точка пересечения $(-3, 0)$. Координаты точки удовлетворяют условиям принадлежности отрезку ($-5 \le -3 \le 1$ и $-4 \le 0 \le 8$). Этому соответствует комплексное число $z = -3$.

Отрезок $A_2A_3$ с концами в точках $A_2(1, 8)$ и $A_3(-2, -4)$.

Уравнение прямой: $\frac{y - 8}{-4 - 8} = \frac{x - 1}{-2 - 1}$, что упрощается до $\frac{y - 8}{-12} = \frac{x - 1}{-3}$. Отсюда $y - 8 = 4(x-1)$, и окончательно $y = 4x + 4$.

Пересечение с мнимой осью (Oy, $x=0$): $y = 4(0) + 4 = 4$. Точка пересечения $(0, 4)$. Точка принадлежит отрезку ($-2 \le 0 \le 1$ и $-4 \le 4 \le 8$). Комплексное число: $z = 4i$.

Пересечение с действительной осью (Ox, $y=0$): $0 = 4x + 4$, откуда $x = -1$. Точка пересечения $(-1, 0)$. Точка принадлежит отрезку ($-2 \le -1 \le 1$ и $-4 \le 0 \le 8$). Комплексное число: $z = -1$.

Отрезок $A_3A_4$ с концами в точках $A_3(-2, -4)$ и $A_4(8, 1)$.

Уравнение прямой: $\frac{y - (-4)}{1 - (-4)} = \frac{x - (-2)}{8 - (-2)}$, что упрощается до $\frac{y + 4}{5} = \frac{x + 2}{10}$. Отсюда $2(y+4) = x+2$, или $y = \frac{1}{2}x - 3$.

Пересечение с мнимой осью (Oy, $x=0$): $y = \frac{1}{2}(0) - 3 = -3$. Точка пересечения $(0, -3)$. Точка принадлежит отрезку ($-2 \le 0 \le 8$ и $-4 \le -3 \le 1$). Комплексное число: $z = -3i$.

Пересечение с действительной осью (Ox, $y=0$): $0 = \frac{1}{2}x - 3$, откуда $x = 6$. Точка пересечения $(6, 0)$. Точка принадлежит отрезку ($-2 \le 6 \le 8$ и $-4 \le 0 \le 1$). Комплексное число: $z = 6$.

Отрезок $A_4A_5$ с концами в точках $A_4(8, 1)$ и $A_5(-1, -8)$.

Уравнение прямой: $\frac{y - 1}{-8 - 1} = \frac{x - 8}{-1 - 8}$, что упрощается до $\frac{y - 1}{-9} = \frac{x - 8}{-9}$. Отсюда $y - 1 = x - 8$, и окончательно $y = x - 7$.

Пересечение с мнимой осью (Oy, $x=0$): $y = 0 - 7 = -7$. Точка пересечения $(0, -7)$. Точка принадлежит отрезку ($-1 \le 0 \le 8$ и $-8 \le -7 \le 1$). Комплексное число: $z = -7i$.

Пересечение с действительной осью (Ox, $y=0$): $0 = x - 7$, откуда $x = 7$. Точка пересечения $(7, 0)$. Точка принадлежит отрезку ($-1 \le 7 \le 8$ и $-8 \le 0 \le 1$). Комплексное число: $z = 7$.

Таким образом, получилось 4 отрезка, и каждый из них пересекает обе координатные оси. Всего получается $4 \times 2 = 8$ точек пересечения.

Ответ: Получилось 8 точек пересечения с осями координат. Комплексные числа, которым соответствуют эти точки: $-3, -1, 6, 7, -7i, -3i, 4i, 6i$.