Номер 33.3, страница 194, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

33.3. a) Отметьте на координатной плоскости точки $ \bar{z}_n $ (n = 1, 2, 3, 4, 5), если $ z_1 = -5 - 3i $, $ z_2 = 1 + 6i $, $ z_3 = -3 - 6i $, $ z_4 = 9 + 2i $, $ z_5 = 1 - 6i $.

б) Соедините отмеченные точки последовательно отрезками. Сколько чисто мнимых чисел имеется на полученной ломаной? Назовите их.

в) Сколько на этой ломаной лежит чисел, для которых $ \mathrm{Re}\, z = -3 $? Назовите их.

г) Сколько на ломаной чисел, для которых $ \mathrm{Im}\, z = 3 $? Назовите их.

Изобразите на координатной плоскости множество всех комплексных чисел $ z $, удовлетворяющих заданному условию:

а) Для того чтобы отметить на координатной плоскости точки $\bar{z}_n$, нужно найти комплексно-сопряженные числа к заданным. Для комплексного числа $z = x + iy$ сопряженным является число $\bar{z} = x - iy$.

Найдем сопряженные числа и соответствующие им точки на координатной плоскости (ось абсцисс - действительная ось Re, ось ординат - мнимая ось Im):

• $z_1 = -5 - 3i \implies \bar{z}_1 = -5 + 3i$. Этому числу соответствует точка $P_1(-5, 3)$.
• $z_2 = 1 + 6i \implies \bar{z}_2 = 1 - 6i$. Этому числу соответствует точка $P_2(1, -6)$.
• $z_3 = -3 - 6i \implies \bar{z}_3 = -3 + 6i$. Этому числу соответствует точка $P_3(-3, 6)$.
• $z_4 = 9 + 2i \implies \bar{z}_4 = 9 - 2i$. Этому числу соответствует точка $P_4(9, -2)$.
• $z_5 = 1 - 6i \implies \bar{z}_5 = 1 + 6i$. Этому числу соответствует точка $P_5(1, 6)$.

Ответ: На координатной плоскости нужно отметить точки $P_1(-5, 3)$, $P_2(1, -6)$, $P_3(-3, 6)$, $P_4(9, -2)$ и $P_5(1, 6)$.

б) Ломаная состоит из четырех отрезков, последовательно соединяющих точки $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5$. Чисто мнимое число имеет вид $z = 0 + iy$, то есть его действительная часть $Re(z)$ равна нулю. На координатной плоскости таким числам соответствуют точки на оси ординат (прямая $x=0$). Найдем пересечения отрезков ломаной с этой осью.

1. Отрезок $P_1P_2$: концы $P_1(-5, 3)$ и $P_2(1, -6)$. Так как абсциссы $x_1=-5$ и $x_2=1$ имеют разные знаки, отрезок пересекает ось $x=0$. Найдем ординату точки пересечения. Уравнение прямой, проходящей через две точки: $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$.
$\frac{x - (-5)}{1 - (-5)} = \frac{y - 3}{-6 - 3} \implies \frac{x+5}{6} = \frac{y-3}{-9}$.
При $x=0$: $\frac{5}{6} = \frac{y-3}{-9} \implies 6(y-3) = -45 \implies y-3 = -7.5 \implies y = -4.5$.
Точка пересечения $(0, -4.5)$, соответствующее число $z = -4.5i$.

2. Отрезок $P_2P_3$: концы $P_2(1, -6)$ и $P_3(-3, 6)$. Абсциссы $x_2=1$ и $x_3=-3$ имеют разные знаки.$\frac{x - 1}{-3 - 1} = \frac{y - (-6)}{6 - (-6)} \implies \frac{x-1}{-4} = \frac{y+6}{12}$.
При $x=0$: $\frac{-1}{-4} = \frac{y+6}{12} \implies \frac{1}{4} = \frac{y+6}{12} \implies 4(y+6)=12 \implies y+6=3 \implies y=-3$.
Точка пересечения $(0, -3)$, соответствующее число $z = -3i$.

3. Отрезок $P_3P_4$: концы $P_3(-3, 6)$ и $P_4(9, -2)$. Абсциссы $x_3=-3$ и $x_4=9$ имеют разные знаки.$\frac{x - (-3)}{9 - (-3)} = \frac{y - 6}{-2 - 6} \implies \frac{x+3}{12} = \frac{y-6}{-8}$.
При $x=0$: $\frac{3}{12} = \frac{y-6}{-8} \implies \frac{1}{4} = \frac{y-6}{-8} \implies 4(y-6)=-8 \implies y-6=-2 \implies y=4$.
Точка пересечения $(0, 4)$, соответствующее число $z = 4i$.

4. Отрезок $P_4P_5$: концы $P_4(9, -2)$ и $P_5(1, 6)$. Абсциссы $x_4=9$ и $x_5=1$ обе положительны, поэтому отрезок не пересекает ось $x=0$.

Ответ: На ломаной имеется 3 чисто мнимых числа: $-4.5i, -3i, 4i$.

в) Ищем на ломаной числа, для которых $Re(z) = -3$. Это точки, лежащие на вертикальной прямой $x=-3$.

Сначала проверим вершины ломаной. Точка $P_3$ имеет координаты $(-3, 6)$. Она лежит на прямой $x=-3$. Ей соответствует число $z_A = -3 + 6i$.

Теперь проверим отрезки на пересечение с прямой $x=-3$.

1. Отрезок $P_1P_2$: концы $P_1(-5, 3)$ и $P_2(1, -6)$. Абсциссы $-5$ и $1$. Прямая $x=-3$ пересекает этот отрезок. Используем уравнение прямой из пункта б): $\frac{x+5}{6} = \frac{y-3}{-9}$.
При $x=-3$: $\frac{-3+5}{6} = \frac{y-3}{-9} \implies \frac{2}{6} = \frac{y-3}{-9} \implies \frac{1}{3} = \frac{y-3}{-9} \implies 3(y-3)=-9 \implies y-3=-3 \implies y=0$.
Точка пересечения $(-3, 0)$, соответствующее число $z_B = -3 + 0i = -3$.

2. Отрезок $P_2P_3$: концы $P_2(1, -6)$ и $P_3(-3, 6)$. Пересечение с прямой $x=-3$ происходит в конечной точке $P_3$, которую мы уже учли.

3. Отрезок $P_3P_4$: концы $P_3(-3, 6)$ и $P_4(9, -2)$. Пересечение с прямой $x=-3$ происходит в начальной точке $P_3$, которую мы уже учли.

4. Отрезок $P_4P_5$: концы $P_4(9, -2)$ и $P_5(1, 6)$. Абсциссы $9$ и $1$ обе больше $-3$, поэтому отрезок не пересекает прямую $x=-3$.

Ответ: На ломаной лежит 2 числа, для которых $Re(z) = -3$. Это числа: $-3$ и $-3+6i$.

г) Ищем на ломаной числа, для которых $Im(z) = 3$. Это точки, лежащие на горизонтальной прямой $y=3$.

Сначала проверим вершины ломаной. Точка $P_1$ имеет координаты $(-5, 3)$. Она лежит на прямой $y=3$. Ей соответствует число $z_C = -5 + 3i$.

Теперь проверим отрезки на пересечение с прямой $y=3$.

1. Отрезок $P_1P_2$: концы $P_1(-5, 3)$ и $P_2(1, -6)$. Пересечение с прямой $y=3$ происходит в начальной точке $P_1$, которую мы уже учли.

2. Отрезок $P_2P_3$: концы $P_2(1, -6)$ и $P_3(-3, 6)$. Ординаты $-6$ и $6$. Прямая $y=3$ пересекает этот отрезок. Используем уравнение прямой: $\frac{x-1}{-4} = \frac{y+6}{12}$.
При $y=3$: $\frac{x-1}{-4} = \frac{3+6}{12} \implies \frac{x-1}{-4} = \frac{9}{12} \implies \frac{x-1}{-4} = \frac{3}{4} \implies 4(x-1) = -12 \implies x-1=-3 \implies x=-2$.
Точка пересечения $(-2, 3)$, соответствующее число $z_D = -2 + 3i$.

3. Отрезок $P_3P_4$: концы $P_3(-3, 6)$ и $P_4(9, -2)$. Ординаты $6$ и $-2$. Прямая $y=3$ пересекает этот отрезок. Используем уравнение прямой: $\frac{x+3}{12} = \frac{y-6}{-8}$.
При $y=3$: $\frac{x+3}{12} = \frac{3-6}{-8} \implies \frac{x+3}{12} = \frac{-3}{-8} \implies \frac{x+3}{12} = \frac{3}{8} \implies 8(x+3)=36 \implies 2(x+3)=9 \implies 2x+6=9 \implies 2x=3 \implies x=1.5$.
Точка пересечения $(1.5, 3)$, соответствующее число $z_E = 1.5 + 3i$.

4. Отрезок $P_4P_5$: концы $P_4(9, -2)$ и $P_5(1, 6)$. Ординаты $-2$ и $6$. Прямая $y=3$ пересекает этот отрезок. Уравнение прямой: $\frac{x-9}{1-9} = \frac{y-(-2)}{6-(-2)} \implies \frac{x-9}{-8} = \frac{y+2}{8} \implies -(x-9) = y+2 \implies -x+9=y+2 \implies y=-x+7$.
При $y=3$: $3 = -x+7 \implies x=4$.
Точка пересечения $(4, 3)$, соответствующее число $z_F = 4 + 3i$.

Ответ: На ломаной лежит 4 числа, для которых $Im(z)=3$. Это числа: $-5+3i, -2+3i, 1.5+3i, 4+3i$.