Номер 32.35, страница 193, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

32.35. Дано: $z_1 = 3 + 2i$; $z_2 = -2 + 3i$. Найдите:

a) $\frac{z_1 - z_2}{\overline{z_1}}$;

б) $\frac{(z_1 + z_2)^2}{\overline{z_1} - \overline{z_2}}$;

В) $\frac{z_2}{z_2 + \overline{z_1}}$;

Г) $\frac{z_2 - 2\overline{z_1}}{(\overline{z_2} + z_1)^3}$.

Дано: $z_1 = 3 + 2i$, $z_2 = -2 + 3i$.

Тогда комплексно-сопряженные числа равны: $\bar{z_1} = 3 - 2i$, $\bar{z_2} = -2 - 3i$.

Вычислим значение выражения $\frac{z_1 - z_2}{\bar{z_1}}$.
1. Найдём разность в числителе:
$z_1 - z_2 = (3 + 2i) - (-2 + 3i) = 3 + 2i + 2 - 3i = (3+2) + (2-3)i = 5 - i$.
2. Выполним деление, умножив числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, то есть на $3 + 2i$:
$\frac{5 - i}{3 - 2i} = \frac{(5 - i)(3 + 2i)}{(3 - 2i)(3 + 2i)} = \frac{15 + 10i - 3i - 2i^2}{3^2 + 2^2} = \frac{15 + 7i - 2(-1)}{9 + 4} = \frac{17 + 7i}{13} = \frac{17}{13} + \frac{7}{13}i$.

Ответ: $\frac{17}{13} + \frac{7}{13}i$.

Вычислим значение выражения $\frac{(z_1 + z_2)^2}{\bar{z_1} - \bar{z_2}}$.
1. Найдём сумму $z_1 + z_2$:
$z_1 + z_2 = (3 + 2i) + (-2 + 3i) = (3-2) + (2+3)i = 1 + 5i$.
2. Возведём сумму в квадрат (числитель):
$(1 + 5i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot 5i + (5i)^2 = 1 + 10i + 25i^2 = 1 + 10i - 25 = -24 + 10i$.
3. Найдём разность в знаменателе:
$\bar{z_1} - \bar{z_2} = (3 - 2i) - (-2 - 3i) = 3 - 2i + 2 + 3i = (3+2) + (-2+3)i = 5 + i$.
4. Выполним деление:
$\frac{-24 + 10i}{5 + i} = \frac{(-24 + 10i)(5 - i)}{(5 + i)(5 - i)} = \frac{-120 + 24i + 50i - 10i^2}{5^2 + 1^2} = \frac{-120 + 74i + 10}{26} = \frac{-110 + 74i}{26}$.
Сократим дробь на 2:
$\frac{-55 + 37i}{13} = -\frac{55}{13} + \frac{37}{13}i$.

Ответ: $-\frac{55}{13} + \frac{37}{13}i$.

Вычислим значение выражения $\frac{z_2}{z_2 + \bar{z_1}}$.
1. Найдём сумму в знаменателе:
$z_2 + \bar{z_1} = (-2 + 3i) + (3 - 2i) = (-2+3) + (3-2)i = 1 + i$.
2. Выполним деление, умножив числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю, то есть на $1 - i$:
$\frac{-2 + 3i}{1 + i} = \frac{(-2 + 3i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{-2 + 2i + 3i - 3i^2}{1^2 + 1^2} = \frac{-2 + 5i - 3(-1)}{2} = \frac{1 + 5i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{5}{2}i$.

Ответ: $\frac{1}{2} + \frac{5}{2}i$.

Вычислим значение выражения $\frac{z_2 - 2\bar{z_1}}{(\bar{z_2} + z_1)^3}$.
1. Найдём числитель:
$z_2 - 2\bar{z_1} = (-2 + 3i) - 2(3 - 2i) = -2 + 3i - 6 + 4i = -8 + 7i$.
2. Найдём основание степени в знаменателе:
$\bar{z_2} + z_1 = (-2 - 3i) + (3 + 2i) = (-2+3) + (-3+2)i = 1 - i$.
3. Возведём в куб, чтобы найти знаменатель:
$(1 - i)^3 = (1 - i)^2(1 - i) = (1 - 2i + i^2)(1 - i) = (1 - 2i - 1)(1 - i) = (-2i)(1 - i) = -2i + 2i^2 = -2i - 2 = -2 - 2i$.
4. Выполним деление:
$\frac{-8 + 7i}{-2 - 2i} = \frac{(-8 + 7i)(-2 + 2i)}{(-2 - 2i)(-2 + 2i)} = \frac{16 - 16i - 14i + 14i^2}{(-2)^2 + (-2)^2} = \frac{16 - 30i - 14}{4 + 4} = \frac{2 - 30i}{8}$.
Сократим дробь на 2:
$\frac{1 - 15i}{4} = \frac{1}{4} - \frac{15}{4}i$.

Ответ: $\frac{1}{4} - \frac{15}{4}i$.