Номер 32.28, страница 192, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

32.28. Найдите действительные числа $a$ и $b$, для которых верно

равенство $\frac{z_1}{z_2} = a\frac{z_2}{z_1} + bz_2$, если:

a) $z_1 = i, z_2 = 2;$

б) $z_1 = 1 + i, z_2 = 1 - i;$

В) $z_1 = 1 + 2i, z_2 = 1 - 2i;$

Г) $z_1 = 1 + i, z_2 = 1 + 2i.$

Для нахождения действительных чисел $a$ и $b$ подставим данные значения комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ в равенство $\frac{z_1}{z_2} = a\frac{z_2}{z_1} + bz_2$. Затем приравняем действительные и мнимые части получившегося уравнения. Это даст систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$.

а) $z_1 = i, z_2 = 2$

Подставляем значения в равенство:

$\frac{i}{2} = a\frac{2}{i} + b \cdot 2$

Вычислим дроби:

$\frac{i}{2} = \frac{1}{2}i$

$\frac{2}{i} = \frac{2 \cdot (-i)}{i \cdot (-i)} = \frac{-2i}{-i^2} = \frac{-2i}{1} = -2i$

Уравнение принимает вид:

$\frac{1}{2}i = a(-2i) + 2b$

$0 + \frac{1}{2}i = 2b - 2ai$

Приравниваем действительные (Re) и мнимые (Im) части:

$\begin{cases} \text{Re}: & 0 = 2b \\ \text{Im}: & \frac{1}{2} = -2a \end{cases}$

Из системы находим: $b = 0$ и $a = -\frac{1}{4}$.

Ответ: $a = -\frac{1}{4}, b = 0$.

б) $z_1 = 1 + i, z_2 = 1 - i$

Подставляем значения в равенство. Сначала вычислим дроби:

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{1+2i+i^2}{1^2 - i^2} = \frac{1+2i-1}{1+1} = \frac{2i}{2} = i$

$\frac{z_2}{z_1} = \frac{1-i}{1+i} = \frac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{1-2i+i^2}{1^2 - i^2} = \frac{1-2i-1}{1+1} = \frac{-2i}{2} = -i$

Уравнение принимает вид:

$i = a(-i) + b(1-i)$

$0 + 1 \cdot i = b - ai - bi = b - (a+b)i$

Приравниваем действительные и мнимые части:

$\begin{cases} \text{Re}: & 0 = b \\ \text{Im}: & 1 = -(a+b) \end{cases}$

Из первого уравнения $b=0$. Подставляя во второе, получаем $1 = -a$, откуда $a=-1$.

Ответ: $a = -1, b = 0$.

в) $z_1 = 1 + 2i, z_2 = 1 - 2i$

Вычислим дроби:

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{1+2i}{1-2i} = \frac{(1+2i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)} = \frac{1+4i+4i^2}{1^2 - (2i)^2} = \frac{1+4i-4}{1+4} = \frac{-3+4i}{5} = -\frac{3}{5} + \frac{4}{5}i$

$\frac{z_2}{z_1} = \frac{1-2i}{1+2i} = \frac{(1-2i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)} = \frac{1-4i+4i^2}{1^2 - (2i)^2} = \frac{1-4i-4}{1+4} = \frac{-3-4i}{5} = -\frac{3}{5} - \frac{4}{5}i$

Уравнение принимает вид:

$-\frac{3}{5} + \frac{4}{5}i = a(-\frac{3}{5} - \frac{4}{5}i) + b(1-2i)$

$-\frac{3}{5} + \frac{4}{5}i = (-\frac{3a}{5} + b) + i(-\frac{4a}{5} - 2b)$

Приравниваем действительные и мнимые части:

$\begin{cases} \text{Re}: & -\frac{3}{5} = -\frac{3a}{5} + b \\ \text{Im}: & \frac{4}{5} = -\frac{4a}{5} - 2b \end{cases} \implies \begin{cases} -3 = -3a + 5b \\ 4 = -4a - 10b \end{cases} \implies \begin{cases} -3 = -3a + 5b \\ 2 = -2a - 5b \end{cases}$

Сложим два уравнения системы: $(-3)+2 = (-3a+5b) + (-2a-5b) \implies -1 = -5a \implies a = \frac{1}{5}$.

Подставим $a$ во второе уравнение: $2 = -2(\frac{1}{5}) - 5b \implies 2 = -\frac{2}{5} - 5b \implies 5b = -\frac{2}{5} - 2 = -\frac{12}{5} \implies b = -\frac{12}{25}$.

Ответ: $a = \frac{1}{5}, b = -\frac{12}{25}$.

г) $z_1 = 1 + i, z_2 = 1 + 2i$

Вычислим дроби:

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{1+i}{1+2i} = \frac{(1+i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)} = \frac{1-2i+i-2i^2}{1^2 - (2i)^2} = \frac{1-i+2}{1+4} = \frac{3-i}{5} = \frac{3}{5} - \frac{1}{5}i$

$\frac{z_2}{z_1} = \frac{1+2i}{1+i} = \frac{(1+2i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{1-i+2i-2i^2}{1^2 - i^2} = \frac{1+i+2}{1+1} = \frac{3+i}{2} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}i$

Уравнение принимает вид:

$\frac{3}{5} - \frac{1}{5}i = a(\frac{3}{2} + \frac{1}{2}i) + b(1+2i)$

$\frac{3}{5} - \frac{1}{5}i = (\frac{3a}{2} + b) + i(\frac{a}{2} + 2b)$

Приравниваем действительные и мнимые части:

$\begin{cases} \text{Re}: & \frac{3}{5} = \frac{3a}{2} + b \\ \text{Im}: & -\frac{1}{5} = \frac{a}{2} + 2b \end{cases} \implies \begin{cases} 6 = 15a + 10b \\ -2 = 5a + 20b \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $5a = -2 - 20b$. Подставим в первое уравнение, умноженное на 3: $6 = 3(5a) + 10b \implies 6 = 3(-2-20b) + 10b$.

$6 = -6 - 60b + 10b \implies 12 = -50b \implies b = -\frac{12}{50} = -\frac{6}{25}$.

Теперь найдем $a$: $5a = -2 - 20(-\frac{6}{25}) = -2 + \frac{120}{25} = -2 + \frac{24}{5} = \frac{-10+24}{5} = \frac{14}{5} \implies a = \frac{14}{25}$.

Ответ: $a = \frac{14}{25}, b = -\frac{6}{25}$.