Номер 32.21, страница 191, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

32.21. a) $(1 + i)^2$;

б) $(1 - i)^3$;

В) $(2 + i)^5$;

Г) $(1 + i)^3 + (1 - i)^2$.

а) Для вычисления $(1 + i)^2$ воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$(1 + i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i + i^2$
Поскольку мнимая единица $i$ в квадрате равна $-1$ (т.е. $i^2 = -1$), получаем:
$1 + 2i + (-1) = 1 + 2i - 1 = 2i$
Ответ: $2i$

б) Для вычисления $(1 - i)^3$ воспользуемся формулой куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.
$(1 - i)^3 = 1^3 - 3 \cdot 1^2 \cdot i + 3 \cdot 1 \cdot i^2 - i^3$
Зная, что $i^2 = -1$ и $i^3 = i^2 \cdot i = -i$, подставляем эти значения в выражение:
$1 - 3i + 3(-1) - (-i) = 1 - 3i - 3 + i$
Сгруппируем действительные и мнимые части:
$(1 - 3) + (-3i + i) = -2 - 2i$
Ответ: $-2 - 2i$

в) Для возведения в пятую степень $(2 + i)^5$ используем формулу бинома Ньютона: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$.
В нашем случае $a=2$, $b=i$, $n=5$. Биномиальные коэффициенты $\binom{5}{k}$ для $k=0,1,2,3,4,5$ равны $1, 5, 10, 10, 5, 1$.
$(2+i)^5 = \binom{5}{0} 2^5 i^0 + \binom{5}{1} 2^4 i^1 + \binom{5}{2} 2^3 i^2 + \binom{5}{3} 2^2 i^3 + \binom{5}{4} 2^1 i^4 + \binom{5}{5} 2^0 i^5$
Вычислим степени $i$: $i^0=1, i^1=i, i^2=-1, i^3=-i, i^4=1, i^5=i$.
Подставляем все значения:
$1 \cdot 32 \cdot 1 + 5 \cdot 16 \cdot i + 10 \cdot 8 \cdot (-1) + 10 \cdot 4 \cdot (-i) + 5 \cdot 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot i$
$= 32 + 80i - 80 - 40i + 10 + i$
Сгруппируем действительные и мнимые части:
$(32 - 80 + 10) + (80i - 40i + i) = -38 + 41i$
Ответ: $-38 + 41i$

г) Необходимо вычислить сумму $(1 + i)^3 + (1 - i)^2$.
Сначала вычислим каждое слагаемое по отдельности.
Первое слагаемое: $(1 + i)^3$. Используем формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.
$(1 + i)^3 = 1^3 + 3 \cdot 1^2 \cdot i + 3 \cdot 1 \cdot i^2 + i^3 = 1 + 3i + 3(-1) + (-i) = 1 + 3i - 3 - i = -2 + 2i$.
Второе слагаемое: $(1 - i)^2$. Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$(1 - i)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i$.
Теперь сложим полученные результаты:
$(-2 + 2i) + (-2i) = -2 + 2i - 2i = -2$
Ответ: $-2$