Номер 32.27, страница 192, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

32.27. Решите уравнение:

a) $iz = (1 - i);$

б) $(1 + i)z = (1 - i);$

в) $(1 + i)z = i;$

г) $(1 + i)^2 z = (1 - i)^3.$

а)

Дано уравнение $iz = (1 - i)$.

Чтобы найти $z$, разделим обе части уравнения на $i$:

$z = \frac{1 - i}{i}$

Для выполнения деления на комплексное число, умножим числитель и знаменатель на число, комплексно сопряженное знаменателю. В данном случае можно умножить на $i$, так как $i \cdot i = -1$, что делает знаменатель действительным числом.

$z = \frac{(1 - i) \cdot i}{i \cdot i} = \frac{1 \cdot i - i \cdot i}{i^2}$

Зная, что $i^2 = -1$, получаем:

$z = \frac{i - (-1)}{-1} = \frac{i + 1}{-1} = -1 - i$

Ответ: $z = -1 - i$.

б)

Дано уравнение $(1 + i)z = (1 - i)$.

Чтобы найти $z$, разделим обе части на $(1 + i)$:

$z = \frac{1 - i}{1 + i}$

Умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю $(1 + i)$, то есть на $(1 - i)$:

$z = \frac{(1 - i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{(1 - i)^2}{1^2 - i^2}$

Раскроем скобки в числителе и знаменателе:

Числитель: $(1 - i)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i$.

Знаменатель: $1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 2$.

Подставим полученные значения:

$z = \frac{-2i}{2} = -i$

Ответ: $z = -i$.

в)

Дано уравнение $(1 + i)z = i$.

Чтобы найти $z$, разделим обе части на $(1 + i)$:

$z = \frac{i}{1 + i}$

Умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, то есть на $(1 - i)$:

$z = \frac{i(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{i - i^2}{1^2 - i^2}$

Подставим $i^2 = -1$:

$z = \frac{i - (-1)}{1 - (-1)} = \frac{1 + i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$

Ответ: $z = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$.

г)

Дано уравнение $(1 + i)^2 z = (1 - i)^3$.

Сначала упростим выражения $(1 + i)^2$ и $(1 - i)^3$.

$(1 + i)^2 = 1^2 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$.

$(1 - i)^3 = (1 - i)^2 \cdot (1 - i) = (1^2 - 2i + i^2) \cdot (1 - i) = (1 - 2i - 1) \cdot (1 - i) = (-2i) \cdot (1 - i) = -2i + 2i^2 = -2i - 2$.

Теперь подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:

$(2i)z = -2 - 2i$

Чтобы найти $z$, разделим обе части на $2i$:

$z = \frac{-2 - 2i}{2i} = \frac{2(-1 - i)}{2i} = \frac{-1 - i}{i}$

Умножим числитель и знаменатель на $i$:

$z = \frac{(-1 - i)i}{i \cdot i} = \frac{-i - i^2}{i^2} = \frac{-i - (-1)}{-1} = \frac{1 - i}{-1} = -1 + i$

Ответ: $z = -1 + i$.