Номер 32.26, страница 192, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

32.26. a) $((i : (1 + i))) : (1 + 2i)) : (1 + 3i);$

б) $i : (((1 + i) : (1 + 2i) : (1 + 3i))).$

а) $((i : (1 + i)) : (1 + 2i)) : (1 + 3i)$

Поскольку операция деления не ассоциативна, порядок действий определяется скобками. В данном случае скобки указывают на последовательное деление слева направо. Такое выражение можно записать в виде одной дроби:

$ \frac{i}{(1+i)(1+2i)(1+3i)} $

Вычислим произведение в знаменателе по шагам:

1. Сначала перемножим первые два сомножителя:
$ (1+i)(1+2i) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2i + i \cdot 1 + i \cdot 2i = 1 + 2i + i + 2i^2 = 1 + 3i - 2 = -1 + 3i $

2. Теперь результат умножим на третий сомножитель:
$ (-1+3i)(1+3i) $
Здесь можно применить формулу разности квадратов, представив выражение как $(3i-1)(3i+1)$:
$ (3i)^2 - 1^2 = 9i^2 - 1 = 9(-1) - 1 = -9 - 1 = -10 $

Теперь подставим полученное значение знаменателя в исходное выражение:

$ \frac{i}{-10} = -\frac{1}{10}i = -0.1i $

Ответ: $-0.1i$.

б) $i : ((1 + i) : ((1 + 2i) : (1 + 3i)))$

В этом выражении порядок действий определяется вложенными скобками, поэтому вычисления начинаем с самой внутренней пары скобок.

1. Вычислим внутреннее частное $(1+2i) : (1+3i)$. Для этого домножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, то есть на $(1-3i)$:

$ \frac{1+2i}{1+3i} = \frac{(1+2i)(1-3i)}{(1+3i)(1-3i)} = \frac{1 - 3i + 2i - 6i^2}{1^2 - (3i)^2} = \frac{1 - i - 6(-1)}{1 - 9i^2} = \frac{1-i+6}{1+9} = \frac{7-i}{10} $

2. Теперь вычислим следующее частное $(1+i) : \frac{7-i}{10}$. Деление на дробь равносильно умножению на перевернутую дробь:

$ (1+i) : \frac{7-i}{10} = (1+i) \cdot \frac{10}{7-i} = \frac{10(1+i)}{7-i} $

Снова домножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю число $(7+i)$:

$ \frac{10(1+i)(7+i)}{(7-i)(7+i)} = \frac{10(7+i+7i+i^2)}{7^2 - i^2} = \frac{10(7+8i-1)}{49-(-1)} = \frac{10(6+8i)}{50} = \frac{6+8i}{5} $

3. Наконец, выполним последнее деление $i : \frac{6+8i}{5}$:

$ i : \frac{6+8i}{5} = i \cdot \frac{5}{6+8i} = \frac{5i}{6+8i} $

Домножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю число $(6-8i)$:

$ \frac{5i(6-8i)}{(6+8i)(6-8i)} = \frac{30i - 40i^2}{6^2 - (8i)^2} = \frac{30i - 40(-1)}{36 - 64i^2} = \frac{40+30i}{36+64} = \frac{40+30i}{100} $

Разделим действительную и мнимую части на 100:

$ \frac{40}{100} + \frac{30}{100}i = \frac{4}{10} + \frac{3}{10}i = 0.4 + 0.3i $

Ответ: $0.4 + 0.3i$.