Номер 32.20, страница 191, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 6. Комплексные числа. Параграф 32. Комплексные числа и арифметические операции над ними - номер 32.20, страница 191.

Условие.

32.20. a) $(1 - 2i)(1 + i);$

Б) $(1 - i)(1 + i);$

В) $(4 - 3i)(-4 + 3i);$

Г) $(12 + 5i)(12 - 5i).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

а) Чтобы перемножить два комплексных числа, нужно раскрыть скобки как при умножении многочленов, а затем учесть, что мнимая единица в квадрате равна -1, то есть $i^2 = -1$.

$(1 - 2i)(1 + i) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot i - 2i \cdot 1 - 2i \cdot i = 1 + i - 2i - 2i^2$.

Приведем подобные слагаемые и заменим $i^2$ на $-1$:

$1 + (1 - 2)i - 2(-1) = 1 - i + 2 = 3 - i$.

Ответ: $3 - i$.

б) В данном случае мы имеем произведение комплексно-сопряженных чисел вида $(a - bi)(a + bi)$, которое равно сумме квадратов действительной и мнимой частей: $(a - bi)(a + bi) = a^2 + b^2$. Также можно воспользоваться формулой разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

$(1 - i)(1 + i) = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$.

Ответ: $2$.

в) Перемножим комплексные числа, раскрыв скобки.

$(4 - 3i)(-4 + 3i) = 4 \cdot (-4) + 4 \cdot 3i - 3i \cdot (-4) - 3i \cdot 3i = -16 + 12i + 12i - 9i^2$.

Сгруппируем действительные и мнимые части и заменим $i^2$ на $-1$:

$-16 + (12 + 12)i - 9(-1) = -16 + 24i + 9 = -7 + 24i$.

Ответ: $-7 + 24i$.

г) Здесь, как и в пункте б), мы имеем произведение комплексно-сопряженных чисел. Применим формулу разности квадратов.

$(12 + 5i)(12 - 5i) = 12^2 - (5i)^2 = 144 - 5^2 \cdot i^2 = 144 - 25i^2$.

Подставим значение $i^2 = -1$:

$144 - 25(-1) = 144 + 25 = 169$.

Ответ: $169$.