Номер 32.17, страница 191, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

32.17. Известно, что число $z_1 + az_2, a \in \mathbf{R}$, является действительным. Найдите $a$, если:

а) $z_1 = 3 + i, z_2 = 6 - i;$

б) $z_1 = 12 - 13i, z_2 = (3 + i)^2;$

в) $z_1 = 8 + 3i, z_2 = -1 - 2i;$

г) $z_1 = i, z_2 = (2 - 3i)^2.$

По условию задачи, число $Z = z_1 + az_2$, где $a \in \mathbb{R}$, является действительным. Комплексное число является действительным, если его мнимая часть равна нулю. Следовательно, для нахождения $a$ в каждом случае необходимо составить выражение для $z_1 + az_2$, выделить его мнимую часть и приравнять её к нулю.

а) $z_1 = 3 + i$, $z_2 = 6 - i$

Составим выражение $z_1 + az_2$:
$Z = (3 + i) + a(6 - i)$

Раскроем скобки и сгруппируем действительные и мнимые части:
$Z = 3 + i + 6a - ai = (3 + 6a) + (1 - a)i$

Мнимая часть этого выражения равна $\text{Im}(Z) = 1 - a$. Приравниваем ее к нулю:
$1 - a = 0$

Отсюда находим $a$:
$a = 1$

Ответ: $a = 1$.

б) $z_1 = 12 - 13i$, $z_2 = (3 + i)^2$

Сначала упростим выражение для $z_2$:
$z_2 = (3 + i)^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot i + i^2 = 9 + 6i - 1 = 8 + 6i$

Теперь подставим $z_1$ и вычисленное значение $z_2$ в выражение $z_1 + az_2$:
$Z = (12 - 13i) + a(8 + 6i) = 12 - 13i + 8a + 6ai$

Сгруппируем действительные и мнимые части:
$Z = (12 + 8a) + (-13 + 6a)i$

Приравниваем мнимую часть к нулю:
$-13 + 6a = 0$

Решаем уравнение относительно $a$:
$6a = 13$
$a = \frac{13}{6}$

Ответ: $a = \frac{13}{6}$.

в) $z_1 = 8 + 3i$, $z_2 = -1 - 2i$

Составим выражение $z_1 + az_2$:
$Z = (8 + 3i) + a(-1 - 2i) = 8 + 3i - a - 2ai$

Сгруппируем действительные и мнимые части:
$Z = (8 - a) + (3 - 2a)i$

Приравниваем мнимую часть к нулю:
$3 - 2a = 0$

Решаем уравнение относительно $a$:
$2a = 3$
$a = \frac{3}{2}$

Ответ: $a = \frac{3}{2}$.

г) $z_1 = i$, $z_2 = (2 - 3i)^2$

Сначала упростим выражение для $z_2$:
$z_2 = (2 - 3i)^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot (3i) + (3i)^2 = 4 - 12i + 9i^2 = 4 - 12i - 9 = -5 - 12i$

Теперь подставим $z_1$ и вычисленное значение $z_2$ в выражение $z_1 + az_2$:
$Z = i + a(-5 - 12i) = i - 5a - 12ai$

Сгруппируем действительные и мнимые части:
$Z = -5a + (1 - 12a)i$

Приравниваем мнимую часть к нулю:
$1 - 12a = 0$

Решаем уравнение относительно $a$:
$12a = 1$
$a = \frac{1}{12}$

Ответ: $a = \frac{1}{12}$.