Номер 32.11, страница 190, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

32.11. a) $z_1 = 1 + i, z_2 = 1 - 2i;$

б) $z_1 = 2 + i, z_2 = -3 + 2i;$

в) $z_1 = i^{15}, z_2 = 15 + i;$

г) $z_1 = i^{17} + 18i^{18}, z_2 = 15i^{15} - 16(-i)^{16}.$

а) Даны комплексные числа $z_1 = 1 + i$ и $z_2 = 1 - 2i$.

Выполним арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление.

1. Сложение:

$z_1 + z_2 = (1 + i) + (1 - 2i) = (1 + 1) + (1 - 2)i = 2 - i$.

2. Вычитание:

$z_1 - z_2 = (1 + i) - (1 - 2i) = 1 + i - 1 + 2i = (1 - 1) + (1 + 2)i = 3i$.

3. Умножение:

$z_1 \cdot z_2 = (1 + i)(1 - 2i) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-2i) + i \cdot 1 + i \cdot (-2i) = 1 - 2i + i - 2i^2 = 1 - i - 2(-1) = 1 - i + 2 = 3 - i$.

4. Деление:

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{1 + i}{1 - 2i}$. Для выполнения деления умножим числитель и знаменатель на комплексное число, сопряженное знаменателю, т.е. на $1 + 2i$.

$\frac{1 + i}{1 - 2i} = \frac{(1 + i)(1 + 2i)}{(1 - 2i)(1 + 2i)} = \frac{1 + 2i + i + 2i^2}{1^2 - (2i)^2} = \frac{1 + 3i + 2(-1)}{1 - 4i^2} = \frac{1 + 3i - 2}{1 - 4(-1)} = \frac{-1 + 3i}{1 + 4} = \frac{-1 + 3i}{5} = -\frac{1}{5} + \frac{3}{5}i$.

Ответ: $z_1+z_2=2-i$; $z_1-z_2=3i$; $z_1 \cdot z_2=3-i$; $\frac{z_1}{z_2}=-\frac{1}{5} + \frac{3}{5}i$.

б) Даны комплексные числа $z_1 = 2 + i$ и $z_2 = -3 + 2i$.

Выполним арифметические операции.

1. Сложение:

$z_1 + z_2 = (2 + i) + (-3 + 2i) = (2 - 3) + (1 + 2)i = -1 + 3i$.

2. Вычитание:

$z_1 - z_2 = (2 + i) - (-3 + 2i) = 2 + i + 3 - 2i = (2 + 3) + (1 - 2)i = 5 - i$.

3. Умножение:

$z_1 \cdot z_2 = (2 + i)(-3 + 2i) = 2(-3) + 2(2i) + i(-3) + i(2i) = -6 + 4i - 3i + 2i^2 = -6 + i + 2(-1) = -8 + i$.

4. Деление:

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{2 + i}{-3 + 2i} = \frac{(2 + i)(-3 - 2i)}{(-3 + 2i)(-3 - 2i)} = \frac{-6 - 4i - 3i - 2i^2}{(-3)^2 - (2i)^2} = \frac{-6 - 7i - 2(-1)}{9 - 4i^2} = \frac{-6 - 7i + 2}{9 + 4} = \frac{-4 - 7i}{13} = -\frac{4}{13} - \frac{7}{13}i$.

Ответ: $z_1+z_2=-1+3i$; $z_1-z_2=5-i$; $z_1 \cdot z_2=-8+i$; $\frac{z_1}{z_2}=-\frac{4}{13} - \frac{7}{13}i$.

в) Даны комплексные числа $z_1 = i^{15}$ и $z_2 = 15 + i$.

Сначала упростим $z_1$. Степени мнимой единицы $i$ повторяются с периодом 4: $i^1=i, i^2=-1, i^3=-i, i^4=1$.

$15 = 4 \cdot 3 + 3$, поэтому $z_1 = i^{15} = i^3 = -i$.

Теперь выполним операции с $z_1 = -i$ и $z_2 = 15 + i$.

1. Сложение:

$z_1 + z_2 = -i + (15 + i) = 15 + (-1 + 1)i = 15$.

2. Вычитание:

$z_1 - z_2 = -i - (15 + i) = -15 - i - i = -15 - 2i$.

3. Умножение:

$z_1 \cdot z_2 = (-i)(15 + i) = -15i - i^2 = -15i - (-1) = 1 - 15i$.

4. Деление:

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{-i}{15 + i} = \frac{-i(15 - i)}{(15 + i)(15 - i)} = \frac{-15i + i^2}{15^2 - i^2} = \frac{-1 - 15i}{225 - (-1)} = \frac{-1 - 15i}{226} = -\frac{1}{226} - \frac{15}{226}i$.

Ответ: $z_1+z_2=15$; $z_1-z_2=-15-2i$; $z_1 \cdot z_2=1-15i$; $\frac{z_1}{z_2}=-\frac{1}{226} - \frac{15}{226}i$.

г) Даны комплексные числа $z_1 = i^{17} + 18i^{18}$ и $z_2 = 15i^{15} - 16(-i)^{16}$.

Сначала упростим выражения для $z_1$ и $z_2$.

Для $z_1$: $i^{17} = i^{16} \cdot i = (i^4)^4 \cdot i = 1 \cdot i = i$.

$i^{18} = i^{16} \cdot i^2 = 1 \cdot (-1) = -1$.

Таким образом, $z_1 = i + 18(-1) = -18 + i$.

Для $z_2$: $i^{15} = i^{12} \cdot i^3 = (i^4)^3 \cdot i^3 = 1 \cdot (-i) = -i$.

$(-i)^{16} = ((-1) \cdot i)^{16} = (-1)^{16} \cdot i^{16} = 1 \cdot (i^4)^4 = 1 \cdot 1^4 = 1$.

Таким образом, $z_2 = 15(-i) - 16(1) = -15i - 16 = -16 - 15i$.

Теперь выполним операции с $z_1 = -18 + i$ и $z_2 = -16 - 15i$.

1. Сложение:

$z_1 + z_2 = (-18 + i) + (-16 - 15i) = (-18 - 16) + (1 - 15)i = -34 - 14i$.

2. Вычитание:

$z_1 - z_2 = (-18 + i) - (-16 - 15i) = -18 + i + 16 + 15i = (-18 + 16) + (1 + 15)i = -2 + 16i$.

3. Умножение:

$z_1 \cdot z_2 = (-18 + i)(-16 - 15i) = (-18)(-16) + (-18)(-15i) + i(-16) + i(-15i) = 288 + 270i - 16i - 15i^2 = 288 + 254i - 15(-1) = 303 + 254i$.

4. Деление:

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{-18 + i}{-16 - 15i} = \frac{(-18 + i)(-16 + 15i)}{(-16 - 15i)(-16 + 15i)} = \frac{288 - 270i - 16i + 15i^2}{(-16)^2 - (15i)^2} = \frac{288 - 286i - 15}{256 - 225i^2} = \frac{273 - 286i}{256 + 225} = \frac{273 - 286i}{481}$.

Проверим, можно ли сократить дробь. $481 = 13 \cdot 37$. $273 = 21 \cdot 13$. $286 = 22 \cdot 13$.

$\frac{273 - 286i}{481} = \frac{273}{481} - \frac{286}{481}i = \frac{21 \cdot 13}{37 \cdot 13} - \frac{22 \cdot 13}{37 \cdot 13}i = \frac{21}{37} - \frac{22}{37}i$.

Ответ: $z_1+z_2=-34-14i$; $z_1-z_2=-2+16i$; $z_1 \cdot z_2=303+254i$; $\frac{z_1}{z_2}=\frac{21}{37} - \frac{22}{37}i$.