Номер 32.10, страница 190, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Для комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ найдите их сумму $z_1 + z_2$ и разность $z_1 - z_2$, если:

32.10. а) $z_1 = 1 + i$, $z_2 = 1 - i$;

б) $z_1 = 1 + i$, $z_2 = -1 + 2i$;

В) $z_1 = -i$, $z_2 = 1 - i$;

Г) $z_1 = i^3 + 4i^4$, $z_2 = i^2 - 3(-i)^3$.

а) Даны комплексные числа $z_1 = 1 + i$ и $z_2 = 1 - i$.

Сложение и вычитание комплексных чисел производится путем сложения или вычитания их действительных и мнимых частей соответственно.

Найдем сумму $z_1 + z_2$:

$z_1 + z_2 = (1 + i) + (1 - i) = (1 + 1) + (1 - 1)i = 2 + 0i = 2$.

Найдем разность $z_1 - z_2$:

$z_1 - z_2 = (1 + i) - (1 - i) = (1 - 1) + (1 - (-1))i = 0 + (1 + 1)i = 2i$.

Ответ: $z_1 + z_2 = 2$; $z_1 - z_2 = 2i$.

б) Даны комплексные числа $z_1 = 1 + i$ и $z_2 = -1 + 2i$.

Найдем их сумму:

$z_1 + z_2 = (1 + i) + (-1 + 2i) = (1 - 1) + (1 + 2)i = 0 + 3i = 3i$.

Найдем их разность:

$z_1 - z_2 = (1 + i) - (-1 + 2i) = (1 - (-1)) + (1 - 2)i = (1 + 1) - 1i = 2 - i$.

Ответ: $z_1 + z_2 = 3i$; $z_1 - z_2 = 2 - i$.

в) Даны комплексные числа $z_1 = -i$ и $z_2 = 1 - i$.

Представим число $z_1$ в стандартной алгебраической форме $a+bi$: $z_1 = 0 - i$.

Найдем их сумму:

$z_1 + z_2 = (0 - i) + (1 - i) = (0 + 1) + (-1 - 1)i = 1 - 2i$.

Найдем их разность:

$z_1 - z_2 = (0 - i) - (1 - i) = (0 - 1) + (-1 - (-1))i = -1 + (-1 + 1)i = -1 + 0i = -1$.

Ответ: $z_1 + z_2 = 1 - 2i$; $z_1 - z_2 = -1$.

г) Даны комплексные числа $z_1 = i^3 + 4i^4$ и $z_2 = i^2 - 3(-i)^3$.

Сначала необходимо упростить выражения для $z_1$ и $z_2$. Для этого воспользуемся свойствами мнимой единицы $i$: $i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$.

Упростим $z_1$:

$z_1 = i^3 + 4i^4 = -i + 4(1) = 4 - i$.

Упростим $z_2$. Сначала вычислим $(-i)^3$: $(-i)^3 = (-1)^3 \cdot i^3 = (-1) \cdot (-i) = i$.

Теперь подставим это в выражение для $z_2$:

$z_2 = i^2 - 3(-i)^3 = -1 - 3(i) = -1 - 3i$.

Теперь, когда числа приведены к стандартному виду $z_1 = 4 - i$ и $z_2 = -1 - 3i$, найдем их сумму и разность.

Сумма:

$z_1 + z_2 = (4 - i) + (-1 - 3i) = (4 - 1) + (-1 - 3)i = 3 - 4i$.

Разность:

$z_1 - z_2 = (4 - i) - (-1 - 3i) = (4 - (-1)) + (-1 - (-3))i = (4 + 1) + (-1 + 3)i = 5 + 2i$.

Ответ: $z_1 + z_2 = 3 - 4i$; $z_1 - z_2 = 5 + 2i$.