Номер 32.9, страница 190, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

32.9. Дана геометрическая прогрессия с первым членом, равным $i$, и знаменателем, равным $-i$.

а) Выпишите первые 7 членов этой прогрессии;

б) найдите значение 27-го члена прогрессии;

в) найдите сумму первых 2007 членов прогрессии;

г) найдите сумму членов прогрессии с 15-го по 30-й.

а) Выпишите первые 7 членов этой прогрессии;
Дано: первый член геометрической прогрессии $b_1 = i$ и знаменатель $q = -i$.
Формула n-го члена прогрессии: $b_n = b_{n-1} \cdot q$.
Вычислим последовательно первые 7 членов:
$b_1 = i$
$b_2 = b_1 \cdot q = i \cdot (-i) = -i^2 = -(-1) = 1$
$b_3 = b_2 \cdot q = 1 \cdot (-i) = -i$
$b_4 = b_3 \cdot q = -i \cdot (-i) = i^2 = -1$
$b_5 = b_4 \cdot q = -1 \cdot (-i) = i$
$b_6 = b_5 \cdot q = i \cdot (-i) = 1$
$b_7 = b_6 \cdot q = 1 \cdot (-i) = -i$
Таким образом, первые 7 членов прогрессии: $i, 1, -i, -1, i, 1, -i$.
Ответ: $i, 1, -i, -1, i, 1, -i$.

б) найдите значение 27-го члена прогрессии;
Способ 1: Использование формулы n-го члена.
Для нахождения 27-го члена $b_{27}$ воспользуемся формулой $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
$b_{27} = b_1 \cdot q^{27-1} = i \cdot (-i)^{26}$.
Упростим выражение $(-i)^{26}$:
$(-i)^{26} = ((-1) \cdot i)^{26} = (-1)^{26} \cdot i^{26} = 1 \cdot (i^2)^{13} = (-1)^{13} = -1$.
Подставим это значение обратно в формулу для $b_{27}$:
$b_{27} = i \cdot (-1) = -i$.

Способ 2: Использование периодичности.
Как видно из пункта а), члены прогрессии повторяются с периодом 4: $(i, 1, -i, -1)$.
Чтобы найти 27-й член, найдем остаток от деления 27 на 4.
$27 = 4 \cdot 6 + 3$.
Это означает, что 27-й член будет таким же, как и 3-й член прогрессии.
$b_{27} = b_3 = -i$.
Ответ: $-i$.

в) найдите сумму первых 2007 членов прогрессии;
Способ 1: Использование периодичности.
Найдем сумму первых четырех членов:
$S_4 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 = i + 1 + (-i) + (-1) = 0$.
Так как сумма каждых четырех последовательных членов равна нулю, мы можем использовать это для упрощения расчета.
Разделим 2007 на 4, чтобы узнать, сколько полных циклов по 4 члена содержится в последовательности:
$2007 = 4 \cdot 501 + 3$.
Сумма первых 2007 членов состоит из 501 полной группы по 4 члена, сумма каждой из которых равна 0, и еще 3 членов.
$S_{2007} = 501 \cdot S_4 + (b_{2005} + b_{2006} + b_{2007})$.
Из-за периодичности $b_{2005}=b_1$, $b_{2006}=b_2$, $b_{2007}=b_3$.
Следовательно, $S_{2007} = 0 + (b_1 + b_2 + b_3) = i + 1 + (-i) = 1$.

Способ 2: Использование формулы суммы.
Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии: $S_n = b_1 \frac{1-q^n}{1-q}$.
$S_{2007} = i \frac{1-(-i)^{2007}}{1-(-i)} = i \frac{1-(-i)^{2007}}{1+i}$.
Вычислим $(-i)^{2007} = -i^{2007}$. Так как $2007 = 4 \cdot 501 + 3$, то $i^{2007} = i^3 = -i$.
Значит, $(-i)^{2007} = -(-i) = i$.
Подставляем в формулу суммы:
$S_{2007} = i \frac{1-i}{1+i} = i \frac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = i \frac{1 - 2i + i^2}{1-i^2} = i \frac{1 - 2i - 1}{1 - (-1)} = i \frac{-2i}{2} = -i^2 = 1$.
Ответ: $1$.

г) найдите сумму членов прогрессии с 15-го по 30-й.
Нужно найти сумму $S = b_{15} + b_{16} + ... + b_{30}$.
Количество членов в этой сумме: $30 - 15 + 1 = 16$ членов.

Способ 1: Использование периодичности.
Как было показано в пункте в), сумма любых четырех последовательных членов прогрессии равна 0. Поскольку количество членов в искомой сумме (16) кратно 4 ($16 = 4 \times 4$), сумма представляет собой 4 группы по 4 члена, сумма каждой из которых равна 0.
$S = (b_{15}+...+b_{18}) + (b_{19}+...+b_{22}) + (b_{23}+...+b_{26}) + (b_{27}+...+b_{30}) = 0+0+0+0 = 0$.

Способ 2: Использование формулы суммы.
Рассматриваемая последовательность — это геометрическая прогрессия с первым членом $a_1 = b_{15}$, знаменателем $q=-i$ и количеством членов $n=16$.
Найдем $b_{15} = b_1 \cdot q^{14} = i \cdot (-i)^{14} = i \cdot i^{14} = i^{15}$. Так как $15 = 4 \cdot 3 + 3$, то $i^{15} = i^3 = -i$. Итак, $a_1 = -i$.
Сумма вычисляется по формуле $S_n = a_1 \frac{1-q^{n}}{1-q}$.
$S = -i \cdot \frac{1-(-i)^{16}}{1-(-i)}$.
Вычислим $(-i)^{16} = ((-i)^4)^4 = (i^4)^4 = 1^4 = 1$.
Подставляем значения в формулу суммы:
$S = -i \cdot \frac{1-1}{1+i} = -i \cdot \frac{0}{1+i} = 0$.
Ответ: $0$.