Страница 190, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Вычислите:

32.5. а) $i^3$;

б) $i^5$;

в) $i^{22}$;

г) $i^{17} + i^{2005}$.

Для решения данной задачи воспользуемся свойством мнимой единицы $i$, которая определяется как $i^2 = -1$. Степени мнимой единицы цикличны с периодом 4:

• $i^1 = i$
• $i^2 = -1$
• $i^3 = i^2 \cdot i = -i$
• $i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1$

Для вычисления $i^n$ для произвольного целого $n$ можно использовать свойство $i^n = i^{4k+r} = (i^4)^k \cdot i^r = 1^k \cdot i^r = i^r$, где $r$ — это остаток от деления $n$ на 4. Если остаток равен 0, то $i^n = i^4 = 1$.

а) $i^3$

Используя свойство степеней, получаем:

$i^3 = i^2 \cdot i$

Так как $i^2 = -1$, то:

$i^3 = -1 \cdot i = -i$

Ответ: $-i$

б) $i^5$

Чтобы вычислить $i^5$, найдем остаток от деления показателя степени 5 на 4:

$5 \div 4 = 1$ (остаток 1)

Следовательно, $i^5 = i^1 = i$.

Также можно расписать степень: $i^5 = i^4 \cdot i = 1 \cdot i = i$.

Ответ: $i$

в) $i^{22}$

Найдем остаток от деления показателя степени 22 на 4:

$22 \div 4 = 5$ (остаток 2)

Следовательно, $i^{22} = i^2 = -1$.

Также можно расписать степень: $i^{22} = i^{4 \cdot 5 + 2} = (i^4)^5 \cdot i^2 = 1^5 \cdot (-1) = -1$.

Ответ: $-1$

г) $i^{17} + i^{2005}$

Вычислим каждое слагаемое по отдельности.

Для $i^{17}$ найдем остаток от деления 17 на 4:

$17 \div 4 = 4$ (остаток 1)

Таким образом, $i^{17} = i^1 = i$.

Для $i^{2005}$ найдем остаток от деления 2005 на 4:

$2005 \div 4 = 501$ (остаток 1)

Таким образом, $i^{2005} = i^1 = i$.

Теперь сложим полученные значения:

$i^{17} + i^{2005} = i + i = 2i$

Ответ: $2i$

32.6. a) $(-i)^3$;

Б) $(-2i)^5$;

В) $-i^{22} - (-i)^{22}$;

Г) $i^3 + i^5 + i^7 + ... + i^{2005}$.

а) Для вычисления $(-i)^3$ воспользуемся свойством степени $(ab)^n = a^n b^n$ и определениями степеней мнимой единицы $i$.

$(-i)^3 = (-1)^3 \cdot i^3$

Мы знаем, что $(-1)^3 = -1$ и $i^3 = i^2 \cdot i = -1 \cdot i = -i$.

Подставляем эти значения обратно в выражение:

$(-1) \cdot (-i) = i$

Ответ: $i$

б) Аналогично предыдущему пункту, раскроем скобки для $(-2i)^5$.

$(-2i)^5 = (-2)^5 \cdot i^5$

Вычисляем каждый множитель отдельно. $(-2)^5 = -32$.

Для вычисления $i^5$ воспользуемся цикличностью степеней мнимой единицы. Период цикла равен 4 ($i^4 = 1$).

$5 = 4 \cdot 1 + 1$

Следовательно, $i^5 = i^{4 \cdot 1 + 1} = (i^4)^1 \cdot i^1 = 1 \cdot i = i$.

Теперь перемножим полученные результаты:

$-32 \cdot i = -32i$

Ответ: $-32i$

в) Рассмотрим выражение $-i^{22} - (-i)^{22}$.

Сначала упростим второе слагаемое. Так как показатель степени 22 — четное число, то $(-i)^{22} = i^{22}$.

Тогда выражение принимает вид:

$-i^{22} - i^{22} = -2 \cdot i^{22}$

Теперь вычислим $i^{22}$. Найдем остаток от деления 22 на 4.

$22 = 4 \cdot 5 + 2$

Следовательно, $i^{22} = i^2 = -1$.

Подставим это значение в наше выражение:

$-2 \cdot (-1) = 2$

Ответ: $2$

г) Требуется найти сумму $S = i^3 + i^5 + i^7 + ... + i^{2005}$.

Данная сумма представляет собой сумму членов геометрической прогрессии. Найдем ее параметры.

Первый член прогрессии $a_1 = i^3$.

Знаменатель прогрессии $q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{i^5}{i^3} = i^2 = -1$.

Чтобы найти количество членов прогрессии $n$, рассмотрим последовательность показателей степеней: 3, 5, 7, ..., 2005. Это арифметическая прогрессия с первым членом $p_1 = 3$ и разностью $d = 2$.

Найдем номер последнего члена $p_n = 2005$ по формуле $p_n = p_1 + (n-1)d$.

$2005 = 3 + (n-1)2$

$2002 = (n-1)2$

$1001 = n-1$

$n = 1002$

Итак, в сумме 1002 слагаемых. Это четное число. Можно заметить, что члены прогрессии чередуются: $i^3 = -i$, $i^5 = i$, $i^7 = -i$, $i^9 = i$ и так далее. Сумма каждой пары последовательных членов равна 0:

$i^3 + i^5 = -i + i = 0$

$i^7 + i^9 = -i + i = 0$

Так как общее число членов $n=1002$ четное, мы можем разбить всю сумму на $1002 / 2 = 501$ пару, сумма каждой из которых равна 0.

$S = (i^3 + i^5) + (i^7 + i^9) + ... + (i^{2003} + i^{2005}) = 0 + 0 + ... + 0 = 0$

Другой способ — использовать формулу суммы геометрической прогрессии $S_n = a_1 \frac{1-q^n}{1-q}$.

$S_{1002} = i^3 \frac{1 - (-1)^{1002}}{1 - (-1)} = -i \frac{1 - 1}{2} = -i \frac{0}{2} = 0$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $0$

32.7. Найдите значение многочлена $z^2 + 361$ при заданном значении переменной $z$:

a) $z = i$;

б) $z = -2i$;

в) $z = -11i$;

г) $z = -19(-i)^3$.

а) Для нахождения значения многочлена подставим $z = i$ в выражение $z^2 + 361$.
Получаем: $(i)^2 + 361$.
По определению мнимой единицы, $i^2 = -1$.
Следовательно, выражение равно: $-1 + 361 = 360$.
Ответ: 360

б) Подставим значение $z = -2i$ в многочлен $z^2 + 361$.
Получаем: $(-2i)^2 + 361$.
Возведем в квадрат $-2i$: $(-2i)^2 = (-2)^2 \cdot i^2 = 4 \cdot (-1) = -4$.
Теперь вычислим значение многочлена:
$-4 + 361 = 357$.
Ответ: 357

в) Подставим значение $z = -11i$ в многочлен $z^2 + 361$.
Получаем: $(-11i)^2 + 361$.
Возведем в квадрат $-11i$: $(-11i)^2 = (-11)^2 \cdot i^2 = 121 \cdot (-1) = -121$.
Теперь вычислим значение многочлена:
$-121 + 361 = 240$.
Ответ: 240

г) Сначала упростим заданное значение переменной $z = -19(-i)^3$.
Найдем значение $(-i)^3$. Для этого воспользуемся свойствами степеней и определением мнимой единицы:
$(-i)^3 = (-1)^3 \cdot i^3 = -1 \cdot (i^2 \cdot i) = -1 \cdot (-1 \cdot i) = i$.
Теперь, когда мы упростили степень, найдем значение $z$:
$z = -19 \cdot i = -19i$.
Подставим полученное значение $z = -19i$ в многочлен $z^2 + 361$:
$(-19i)^2 + 361$.
Возведем в квадрат $-19i$: $(-19i)^2 = (-19)^2 \cdot i^2 = 361 \cdot (-1) = -361$.
Теперь вычислим значение многочлена:
$-361 + 361 = 0$.
Ответ: 0

32.8. Найдите значение многочлена $z^3 + 3z$ при заданном значении переменной $z$:

a) $z = -i;$

б) $z = \sqrt{2}i;$

в) $z = -3i;$

г) $z = -\sqrt{3}i.$

а) Найдем значение многочлена $z^3 + 3z$ при $z = -i$.

Подставляем $z = -i$ в выражение:

$(-i)^3 + 3(-i)$

Сначала вычислим $(-i)^3$. Используя свойства степеней и определение мнимой единицы ($i^2 = -1$, следовательно $i^3 = i^2 \cdot i = -i$):

$(-i)^3 = (-1 \cdot i)^3 = (-1)^3 \cdot i^3 = -1 \cdot (-i) = i$.

Теперь вычислим второе слагаемое:

$3(-i) = -3i$.

Сложим полученные результаты:

$i + (-3i) = i - 3i = -2i$.

Ответ: $-2i$

б) Найдем значение многочлена $z^3 + 3z$ при $z = \sqrt{2}i$.

Подставляем $z = \sqrt{2}i$ в выражение:

$(\sqrt{2}i)^3 + 3(\sqrt{2}i)$

Сначала вычислим $(\sqrt{2}i)^3$:

$(\sqrt{2}i)^3 = (\sqrt{2})^3 \cdot i^3 = 2\sqrt{2} \cdot (-i) = -2\sqrt{2}i$.

Теперь вычислим второе слагаемое:

$3(\sqrt{2}i) = 3\sqrt{2}i$.

Сложим полученные результаты:

$-2\sqrt{2}i + 3\sqrt{2}i = (3\sqrt{2} - 2\sqrt{2})i = \sqrt{2}i$.

Ответ: $\sqrt{2}i$

в) Найдем значение многочлена $z^3 + 3z$ при $z = -3i$.

Подставляем $z = -3i$ в выражение:

$(-3i)^3 + 3(-3i)$

Сначала вычислим $(-3i)^3$:

$(-3i)^3 = (-3)^3 \cdot i^3 = -27 \cdot (-i) = 27i$.

Теперь вычислим второе слагаемое:

$3(-3i) = -9i$.

Сложим полученные результаты:

$27i + (-9i) = 27i - 9i = 18i$.

Ответ: $18i$

г) Найдем значение многочлена $z^3 + 3z$ при $z = -\sqrt{3}i$.

Подставляем $z = -\sqrt{3}i$ в выражение:

$(-\sqrt{3}i)^3 + 3(-\sqrt{3}i)$

Сначала вычислим $(-\sqrt{3}i)^3$:

$(-\sqrt{3}i)^3 = (-\sqrt{3})^3 \cdot i^3 = -((\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt{3}) \cdot (-i) = -3\sqrt{3} \cdot (-i) = 3\sqrt{3}i$.

Теперь вычислим второе слагаемое:

$3(-\sqrt{3}i) = -3\sqrt{3}i$.

Сложим полученные результаты:

$3\sqrt{3}i + (-3\sqrt{3}i) = 3\sqrt{3}i - 3\sqrt{3}i = 0$.

Ответ: $0$

32.9. Дана геометрическая прогрессия с первым членом, равным $i$, и знаменателем, равным $-i$.

а) Выпишите первые 7 членов этой прогрессии;

б) найдите значение 27-го члена прогрессии;

в) найдите сумму первых 2007 членов прогрессии;

г) найдите сумму членов прогрессии с 15-го по 30-й.

а) Выпишите первые 7 членов этой прогрессии;
Дано: первый член геометрической прогрессии $b_1 = i$ и знаменатель $q = -i$.
Формула n-го члена прогрессии: $b_n = b_{n-1} \cdot q$.
Вычислим последовательно первые 7 членов:
$b_1 = i$
$b_2 = b_1 \cdot q = i \cdot (-i) = -i^2 = -(-1) = 1$
$b_3 = b_2 \cdot q = 1 \cdot (-i) = -i$
$b_4 = b_3 \cdot q = -i \cdot (-i) = i^2 = -1$
$b_5 = b_4 \cdot q = -1 \cdot (-i) = i$
$b_6 = b_5 \cdot q = i \cdot (-i) = 1$
$b_7 = b_6 \cdot q = 1 \cdot (-i) = -i$
Таким образом, первые 7 членов прогрессии: $i, 1, -i, -1, i, 1, -i$.
Ответ: $i, 1, -i, -1, i, 1, -i$.

б) найдите значение 27-го члена прогрессии;
Способ 1: Использование формулы n-го члена.
Для нахождения 27-го члена $b_{27}$ воспользуемся формулой $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
$b_{27} = b_1 \cdot q^{27-1} = i \cdot (-i)^{26}$.
Упростим выражение $(-i)^{26}$:
$(-i)^{26} = ((-1) \cdot i)^{26} = (-1)^{26} \cdot i^{26} = 1 \cdot (i^2)^{13} = (-1)^{13} = -1$.
Подставим это значение обратно в формулу для $b_{27}$:
$b_{27} = i \cdot (-1) = -i$.

Способ 2: Использование периодичности.
Как видно из пункта а), члены прогрессии повторяются с периодом 4: $(i, 1, -i, -1)$.
Чтобы найти 27-й член, найдем остаток от деления 27 на 4.
$27 = 4 \cdot 6 + 3$.
Это означает, что 27-й член будет таким же, как и 3-й член прогрессии.
$b_{27} = b_3 = -i$.
Ответ: $-i$.

в) найдите сумму первых 2007 членов прогрессии;
Способ 1: Использование периодичности.
Найдем сумму первых четырех членов:
$S_4 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 = i + 1 + (-i) + (-1) = 0$.
Так как сумма каждых четырех последовательных членов равна нулю, мы можем использовать это для упрощения расчета.
Разделим 2007 на 4, чтобы узнать, сколько полных циклов по 4 члена содержится в последовательности:
$2007 = 4 \cdot 501 + 3$.
Сумма первых 2007 членов состоит из 501 полной группы по 4 члена, сумма каждой из которых равна 0, и еще 3 членов.
$S_{2007} = 501 \cdot S_4 + (b_{2005} + b_{2006} + b_{2007})$.
Из-за периодичности $b_{2005}=b_1$, $b_{2006}=b_2$, $b_{2007}=b_3$.
Следовательно, $S_{2007} = 0 + (b_1 + b_2 + b_3) = i + 1 + (-i) = 1$.

Способ 2: Использование формулы суммы.
Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии: $S_n = b_1 \frac{1-q^n}{1-q}$.
$S_{2007} = i \frac{1-(-i)^{2007}}{1-(-i)} = i \frac{1-(-i)^{2007}}{1+i}$.
Вычислим $(-i)^{2007} = -i^{2007}$. Так как $2007 = 4 \cdot 501 + 3$, то $i^{2007} = i^3 = -i$.
Значит, $(-i)^{2007} = -(-i) = i$.
Подставляем в формулу суммы:
$S_{2007} = i \frac{1-i}{1+i} = i \frac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = i \frac{1 - 2i + i^2}{1-i^2} = i \frac{1 - 2i - 1}{1 - (-1)} = i \frac{-2i}{2} = -i^2 = 1$.
Ответ: $1$.

г) найдите сумму членов прогрессии с 15-го по 30-й.
Нужно найти сумму $S = b_{15} + b_{16} + ... + b_{30}$.
Количество членов в этой сумме: $30 - 15 + 1 = 16$ членов.

Способ 1: Использование периодичности.
Как было показано в пункте в), сумма любых четырех последовательных членов прогрессии равна 0. Поскольку количество членов в искомой сумме (16) кратно 4 ($16 = 4 \times 4$), сумма представляет собой 4 группы по 4 члена, сумма каждой из которых равна 0.
$S = (b_{15}+...+b_{18}) + (b_{19}+...+b_{22}) + (b_{23}+...+b_{26}) + (b_{27}+...+b_{30}) = 0+0+0+0 = 0$.

Способ 2: Использование формулы суммы.
Рассматриваемая последовательность — это геометрическая прогрессия с первым членом $a_1 = b_{15}$, знаменателем $q=-i$ и количеством членов $n=16$.
Найдем $b_{15} = b_1 \cdot q^{14} = i \cdot (-i)^{14} = i \cdot i^{14} = i^{15}$. Так как $15 = 4 \cdot 3 + 3$, то $i^{15} = i^3 = -i$. Итак, $a_1 = -i$.
Сумма вычисляется по формуле $S_n = a_1 \frac{1-q^{n}}{1-q}$.
$S = -i \cdot \frac{1-(-i)^{16}}{1-(-i)}$.
Вычислим $(-i)^{16} = ((-i)^4)^4 = (i^4)^4 = 1^4 = 1$.
Подставляем значения в формулу суммы:
$S = -i \cdot \frac{1-1}{1+i} = -i \cdot \frac{0}{1+i} = 0$.
Ответ: $0$.

Для комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ найдите их сумму $z_1 + z_2$ и разность $z_1 - z_2$, если:

32.10. а) $z_1 = 1 + i$, $z_2 = 1 - i$;

б) $z_1 = 1 + i$, $z_2 = -1 + 2i$;

В) $z_1 = -i$, $z_2 = 1 - i$;

Г) $z_1 = i^3 + 4i^4$, $z_2 = i^2 - 3(-i)^3$.

а) Даны комплексные числа $z_1 = 1 + i$ и $z_2 = 1 - i$.

Сложение и вычитание комплексных чисел производится путем сложения или вычитания их действительных и мнимых частей соответственно.

Найдем сумму $z_1 + z_2$:

$z_1 + z_2 = (1 + i) + (1 - i) = (1 + 1) + (1 - 1)i = 2 + 0i = 2$.

Найдем разность $z_1 - z_2$:

$z_1 - z_2 = (1 + i) - (1 - i) = (1 - 1) + (1 - (-1))i = 0 + (1 + 1)i = 2i$.

Ответ: $z_1 + z_2 = 2$; $z_1 - z_2 = 2i$.

б) Даны комплексные числа $z_1 = 1 + i$ и $z_2 = -1 + 2i$.

Найдем их сумму:

$z_1 + z_2 = (1 + i) + (-1 + 2i) = (1 - 1) + (1 + 2)i = 0 + 3i = 3i$.

Найдем их разность:

$z_1 - z_2 = (1 + i) - (-1 + 2i) = (1 - (-1)) + (1 - 2)i = (1 + 1) - 1i = 2 - i$.

Ответ: $z_1 + z_2 = 3i$; $z_1 - z_2 = 2 - i$.

в) Даны комплексные числа $z_1 = -i$ и $z_2 = 1 - i$.

Представим число $z_1$ в стандартной алгебраической форме $a+bi$: $z_1 = 0 - i$.

Найдем их сумму:

$z_1 + z_2 = (0 - i) + (1 - i) = (0 + 1) + (-1 - 1)i = 1 - 2i$.

Найдем их разность:

$z_1 - z_2 = (0 - i) - (1 - i) = (0 - 1) + (-1 - (-1))i = -1 + (-1 + 1)i = -1 + 0i = -1$.

Ответ: $z_1 + z_2 = 1 - 2i$; $z_1 - z_2 = -1$.

г) Даны комплексные числа $z_1 = i^3 + 4i^4$ и $z_2 = i^2 - 3(-i)^3$.

Сначала необходимо упростить выражения для $z_1$ и $z_2$. Для этого воспользуемся свойствами мнимой единицы $i$: $i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$.

Упростим $z_1$:

$z_1 = i^3 + 4i^4 = -i + 4(1) = 4 - i$.

Упростим $z_2$. Сначала вычислим $(-i)^3$: $(-i)^3 = (-1)^3 \cdot i^3 = (-1) \cdot (-i) = i$.

Теперь подставим это в выражение для $z_2$:

$z_2 = i^2 - 3(-i)^3 = -1 - 3(i) = -1 - 3i$.

Теперь, когда числа приведены к стандартному виду $z_1 = 4 - i$ и $z_2 = -1 - 3i$, найдем их сумму и разность.

Сумма:

$z_1 + z_2 = (4 - i) + (-1 - 3i) = (4 - 1) + (-1 - 3)i = 3 - 4i$.

Разность:

$z_1 - z_2 = (4 - i) - (-1 - 3i) = (4 - (-1)) + (-1 - (-3))i = (4 + 1) + (-1 + 3)i = 5 + 2i$.

Ответ: $z_1 + z_2 = 3 - 4i$; $z_1 - z_2 = 5 + 2i$.

32.11. a) $z_1 = 1 + i, z_2 = 1 - 2i;$

б) $z_1 = 2 + i, z_2 = -3 + 2i;$

в) $z_1 = i^{15}, z_2 = 15 + i;$

г) $z_1 = i^{17} + 18i^{18}, z_2 = 15i^{15} - 16(-i)^{16}.$

а) Даны комплексные числа $z_1 = 1 + i$ и $z_2 = 1 - 2i$.

Выполним арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление.

1. Сложение:

$z_1 + z_2 = (1 + i) + (1 - 2i) = (1 + 1) + (1 - 2)i = 2 - i$.

2. Вычитание:

$z_1 - z_2 = (1 + i) - (1 - 2i) = 1 + i - 1 + 2i = (1 - 1) + (1 + 2)i = 3i$.

3. Умножение:

$z_1 \cdot z_2 = (1 + i)(1 - 2i) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-2i) + i \cdot 1 + i \cdot (-2i) = 1 - 2i + i - 2i^2 = 1 - i - 2(-1) = 1 - i + 2 = 3 - i$.

4. Деление:

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{1 + i}{1 - 2i}$. Для выполнения деления умножим числитель и знаменатель на комплексное число, сопряженное знаменателю, т.е. на $1 + 2i$.

$\frac{1 + i}{1 - 2i} = \frac{(1 + i)(1 + 2i)}{(1 - 2i)(1 + 2i)} = \frac{1 + 2i + i + 2i^2}{1^2 - (2i)^2} = \frac{1 + 3i + 2(-1)}{1 - 4i^2} = \frac{1 + 3i - 2}{1 - 4(-1)} = \frac{-1 + 3i}{1 + 4} = \frac{-1 + 3i}{5} = -\frac{1}{5} + \frac{3}{5}i$.

Ответ: $z_1+z_2=2-i$; $z_1-z_2=3i$; $z_1 \cdot z_2=3-i$; $\frac{z_1}{z_2}=-\frac{1}{5} + \frac{3}{5}i$.

б) Даны комплексные числа $z_1 = 2 + i$ и $z_2 = -3 + 2i$.

Выполним арифметические операции.

1. Сложение:

$z_1 + z_2 = (2 + i) + (-3 + 2i) = (2 - 3) + (1 + 2)i = -1 + 3i$.

2. Вычитание:

$z_1 - z_2 = (2 + i) - (-3 + 2i) = 2 + i + 3 - 2i = (2 + 3) + (1 - 2)i = 5 - i$.

3. Умножение:

$z_1 \cdot z_2 = (2 + i)(-3 + 2i) = 2(-3) + 2(2i) + i(-3) + i(2i) = -6 + 4i - 3i + 2i^2 = -6 + i + 2(-1) = -8 + i$.

4. Деление:

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{2 + i}{-3 + 2i} = \frac{(2 + i)(-3 - 2i)}{(-3 + 2i)(-3 - 2i)} = \frac{-6 - 4i - 3i - 2i^2}{(-3)^2 - (2i)^2} = \frac{-6 - 7i - 2(-1)}{9 - 4i^2} = \frac{-6 - 7i + 2}{9 + 4} = \frac{-4 - 7i}{13} = -\frac{4}{13} - \frac{7}{13}i$.

Ответ: $z_1+z_2=-1+3i$; $z_1-z_2=5-i$; $z_1 \cdot z_2=-8+i$; $\frac{z_1}{z_2}=-\frac{4}{13} - \frac{7}{13}i$.

в) Даны комплексные числа $z_1 = i^{15}$ и $z_2 = 15 + i$.

Сначала упростим $z_1$. Степени мнимой единицы $i$ повторяются с периодом 4: $i^1=i, i^2=-1, i^3=-i, i^4=1$.

$15 = 4 \cdot 3 + 3$, поэтому $z_1 = i^{15} = i^3 = -i$.

Теперь выполним операции с $z_1 = -i$ и $z_2 = 15 + i$.

1. Сложение:

$z_1 + z_2 = -i + (15 + i) = 15 + (-1 + 1)i = 15$.

2. Вычитание:

$z_1 - z_2 = -i - (15 + i) = -15 - i - i = -15 - 2i$.

3. Умножение:

$z_1 \cdot z_2 = (-i)(15 + i) = -15i - i^2 = -15i - (-1) = 1 - 15i$.

4. Деление:

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{-i}{15 + i} = \frac{-i(15 - i)}{(15 + i)(15 - i)} = \frac{-15i + i^2}{15^2 - i^2} = \frac{-1 - 15i}{225 - (-1)} = \frac{-1 - 15i}{226} = -\frac{1}{226} - \frac{15}{226}i$.

Ответ: $z_1+z_2=15$; $z_1-z_2=-15-2i$; $z_1 \cdot z_2=1-15i$; $\frac{z_1}{z_2}=-\frac{1}{226} - \frac{15}{226}i$.

г) Даны комплексные числа $z_1 = i^{17} + 18i^{18}$ и $z_2 = 15i^{15} - 16(-i)^{16}$.

Сначала упростим выражения для $z_1$ и $z_2$.

Для $z_1$: $i^{17} = i^{16} \cdot i = (i^4)^4 \cdot i = 1 \cdot i = i$.

$i^{18} = i^{16} \cdot i^2 = 1 \cdot (-1) = -1$.

Таким образом, $z_1 = i + 18(-1) = -18 + i$.

Для $z_2$: $i^{15} = i^{12} \cdot i^3 = (i^4)^3 \cdot i^3 = 1 \cdot (-i) = -i$.

$(-i)^{16} = ((-1) \cdot i)^{16} = (-1)^{16} \cdot i^{16} = 1 \cdot (i^4)^4 = 1 \cdot 1^4 = 1$.

Таким образом, $z_2 = 15(-i) - 16(1) = -15i - 16 = -16 - 15i$.

Теперь выполним операции с $z_1 = -18 + i$ и $z_2 = -16 - 15i$.

1. Сложение:

$z_1 + z_2 = (-18 + i) + (-16 - 15i) = (-18 - 16) + (1 - 15)i = -34 - 14i$.

2. Вычитание:

$z_1 - z_2 = (-18 + i) - (-16 - 15i) = -18 + i + 16 + 15i = (-18 + 16) + (1 + 15)i = -2 + 16i$.

3. Умножение:

$z_1 \cdot z_2 = (-18 + i)(-16 - 15i) = (-18)(-16) + (-18)(-15i) + i(-16) + i(-15i) = 288 + 270i - 16i - 15i^2 = 288 + 254i - 15(-1) = 303 + 254i$.

4. Деление:

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{-18 + i}{-16 - 15i} = \frac{(-18 + i)(-16 + 15i)}{(-16 - 15i)(-16 + 15i)} = \frac{288 - 270i - 16i + 15i^2}{(-16)^2 - (15i)^2} = \frac{288 - 286i - 15}{256 - 225i^2} = \frac{273 - 286i}{256 + 225} = \frac{273 - 286i}{481}$.

Проверим, можно ли сократить дробь. $481 = 13 \cdot 37$. $273 = 21 \cdot 13$. $286 = 22 \cdot 13$.

$\frac{273 - 286i}{481} = \frac{273}{481} - \frac{286}{481}i = \frac{21 \cdot 13}{37 \cdot 13} - \frac{22 \cdot 13}{37 \cdot 13}i = \frac{21}{37} - \frac{22}{37}i$.

Ответ: $z_1+z_2=-34-14i$; $z_1-z_2=-2+16i$; $z_1 \cdot z_2=303+254i$; $\frac{z_1}{z_2}=\frac{21}{37} - \frac{22}{37}i$.

32.12. Дана арифметическая прогрессия с первым членом, равным $3 - 2i$, и разностью, равной $-1 + i$.

а) Составьте формулу $n$-го члена прогрессии;

б) найдите значение $15$-го члена прогрессии;

в) найдите сумму первых $20$ членов этой прогрессии;

г) найдите сумму членов прогрессии с $10$-го до $40$-го.

Дана арифметическая прогрессия с первым членом $a_1 = 3 - 2i$ и разностью $d = -1 + i$.

а) Составьте формулу n-го члена прогрессии;

Формула $n$-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим в нее заданные значения первого члена $a_1$ и разности $d$:
$a_n = (3 - 2i) + (n - 1)(-1 + i)$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, сгруппировав действительные и мнимые части:
$a_n = 3 - 2i - n + ni + 1 - i$
$a_n = (3 + 1 - n) + (-2 + n - 1)i$
$a_n = (4 - n) + (n - 3)i$
Это и есть искомая формула.
Ответ: $a_n = (4 - n) + (n - 3)i$.

б) найдите значение 15-го члена прогрессии;

Чтобы найти 15-й член прогрессии ($a_{15}$), подставим $n=15$ в формулу $n$-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$a_{15} = a_1 + (15 - 1)d = a_1 + 14d$
Подставим значения $a_1 = 3 - 2i$ и $d = -1 + i$:
$a_{15} = (3 - 2i) + 14(-1 + i)$
$a_{15} = 3 - 2i - 14 + 14i$
$a_{15} = (3 - 14) + (-2 + 14)i$
$a_{15} = -11 + 12i$
Ответ: $-11 + 12i$.

в) найдите сумму первых 20 членов этой прогрессии;

Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$.
Для нахождения суммы первых 20 членов ($S_{20}$) подставим $n=20$:
$S_{20} = \frac{20}{2}(2a_1 + (20 - 1)d) = 10(2a_1 + 19d)$
Подставим значения $a_1$ и $d$:
$S_{20} = 10(2(3 - 2i) + 19(-1 + i))$
$S_{20} = 10(6 - 4i - 19 + 19i)$
$S_{20} = 10((6 - 19) + (-4 + 19)i)$
$S_{20} = 10(-13 + 15i)$
$S_{20} = -130 + 150i$
Ответ: $-130 + 150i$.

г) найдите сумму членов прогрессии с 10-го до 40-го.

Чтобы найти сумму членов с 10-го по 40-й включительно, мы можем рассмотреть это как отдельную арифметическую прогрессию. Количество членов в этой последовательности равно $40 - 10 + 1 = 31$.
Сумму можно найти по формуле $S = \frac{k}{2}(a_{start} + a_{end})$, где $k=31$, $a_{start}=a_{10}$, $a_{end}=a_{40}$.
Сначала найдем 10-й и 40-й члены прогрессии.
$a_{10} = a_1 + (10 - 1)d = (3 - 2i) + 9(-1 + i) = 3 - 2i - 9 + 9i = -6 + 7i$
$a_{40} = a_1 + (40 - 1)d = (3 - 2i) + 39(-1 + i) = 3 - 2i - 39 + 39i = -36 + 37i$
Теперь вычислим сумму:
$S = \frac{31}{2}(a_{10} + a_{40}) = \frac{31}{2}((-6 + 7i) + (-36 + 37i))$
$S = \frac{31}{2}((-6 - 36) + (7 + 37)i)$
$S = \frac{31}{2}(-42 + 44i)$
$S = 31 \cdot (\frac{-42}{2} + \frac{44}{2}i)$
$S = 31(-21 + 22i)$
$S = -651 + 682i$
Ответ: $-651 + 682i$.

32.13. Докажите, что:

а) $z_1 + z_2 = z_2 + z_1$, $z_1 \in \mathbb{C}$, $z_2 \in \mathbb{C}$;

б) $(a + b)z = az + bz$, $a \in \mathbb{R}$, $b \in \mathbb{R}$, $z \in \mathbb{C}$;

в) $(ab)z = a(bz)$, $a \in \mathbb{R}$, $b \in \mathbb{R}$, $z \in \mathbb{C}$;

г) $a(z_1 + z_2) = az_1 + az_2$, $a \in \mathbb{R}$, $z_1 \in \mathbb{C}$, $z_2 \in \mathbb{C}$.

а) Докажем, что $z_1 + z_2 = z_2 + z_1$ для любых $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$.

Пусть комплексные числа $z_1$ и $z_2$ представлены в алгебраической форме: $z_1 = x_1 + iy_1$ и $z_2 = x_2 + iy_2$, где $x_1, y_1, x_2, y_2$ — действительные числа ($x_1, y_1, x_2, y_2 \in \mathbb{R}$).

Рассмотрим левую часть равенства:

$z_1 + z_2 = (x_1 + iy_1) + (x_2 + iy_2)$

По определению сложения комплексных чисел, складываем отдельно действительные и мнимые части:

$z_1 + z_2 = (x_1 + x_2) + i(y_1 + y_2)$

Теперь рассмотрим правую часть равенства:

$z_2 + z_1 = (x_2 + iy_2) + (x_1 + iy_1) = (x_2 + x_1) + i(y_2 + y_1)$

Сложение действительных чисел коммутативно, то есть $x_1 + x_2 = x_2 + x_1$ и $y_1 + y_2 = y_2 + y_1$.

Следовательно, $(x_1 + x_2) + i(y_1 + y_2) = (x_2 + x_1) + i(y_2 + y_1)$, что означает $z_1 + z_2 = z_2 + z_1$.

Ответ: Равенство $z_1 + z_2 = z_2 + z_1$ доказано, так как оно следует из коммутативности сложения действительных чисел.

б) Докажем, что $(a + b)z = az + bz$ для любых $a, b \in \mathbb{R}$ и $z \in \mathbb{C}$.

Пусть $z = x + iy$, где $x, y \in \mathbb{R}$.

Рассмотрим левую часть равенства:

$(a + b)z = (a + b)(x + iy)$

По определению умножения комплексного числа на действительное, умножаем действительную и мнимую части на скаляр:

$(a + b)z = (a + b)x + i(a + b)y$

Используя дистрибутивность умножения относительно сложения для действительных чисел, получаем:

$(a + b)z = (ax + bx) + i(ay + by)$

Рассмотрим правую часть равенства:

$az + bz = a(x + iy) + b(x + iy) = (ax + iay) + (bx + iby)$

Складывая комплексные числа, получаем:

$az + bz = (ax + bx) + i(ay + by)$

Левая и правая части равны. Таким образом, $(a + b)z = az + bz$.

Ответ: Равенство $(a + b)z = az + bz$ доказано, так как оно следует из дистрибутивности умножения относительно сложения для действительных чисел.

в) Докажем, что $(ab)z = a(bz)$ для любых $a, b \in \mathbb{R}$ и $z \in \mathbb{C}$.

Пусть $z = x + iy$, где $x, y \in \mathbb{R}$.

Рассмотрим левую часть равенства:

$(ab)z = (ab)(x + iy) = (ab)x + i(ab)y$

Рассмотрим правую часть равенства:

$a(bz) = a(b(x + iy)) = a(bx + iby) = a(bx) + i(a(by))$

Умножение действительных чисел ассоциативно, то есть $(ab)x = a(bx)$ и $(ab)y = a(by)$.

Следовательно, $(ab)x + i(ab)y = a(bx) + i(a(by))$, что означает $(ab)z = a(bz)$.

Ответ: Равенство $(ab)z = a(bz)$ доказано, так как оно следует из ассоциативности умножения действительных чисел.

г) Докажем, что $a(z_1 + z_2) = az_1 + az_2$ для любых $a \in \mathbb{R}$ и $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$.

Пусть $z_1 = x_1 + iy_1$ и $z_2 = x_2 + iy_2$, где $x_1, y_1, x_2, y_2 \in \mathbb{R}$.

Рассмотрим левую часть равенства:

$a(z_1 + z_2) = a((x_1 + iy_1) + (x_2 + iy_2)) = a((x_1 + x_2) + i(y_1 + y_2))$

Выполним умножение на скаляр $a$:

$a(z_1 + z_2) = a(x_1 + x_2) + i a(y_1 + y_2)$

Используя дистрибутивность для действительных чисел:

$a(z_1 + z_2) = (ax_1 + ax_2) + i(ay_1 + ay_2)$

Рассмотрим правую часть равенства:

$az_1 + az_2 = a(x_1 + iy_1) + a(x_2 + iy_2) = (ax_1 + iay_1) + (ax_2 + iay_2)$

Складывая комплексные числа, получаем:

$az_1 + az_2 = (ax_1 + ax_2) + i(ay_1 + ay_2)$

Левая и правая части равны. Таким образом, $a(z_1 + z_2) = az_1 + az_2$.

Ответ: Равенство $a(z_1 + z_2) = az_1 + az_2$ доказано, так как оно следует из дистрибутивности умножения относительно сложения для действительных чисел.