Страница 189, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

32.1. Приведите примеры линейных уравнений с действительными коэффициентами, которые:

а) имеют целые корни, но не имеют натуральных корней;

б) имеют рациональные корни, но не имеют целых корней;

в) имеют действительные корни, но не имеют рациональных корней;

г) не имеют действительных корней.

Линейное уравнение с одной переменной в общем виде записывается как $ax+b=0$, где $a$ и $b$ – действительные коэффициенты. Если $a \neq 0$, уравнение имеет единственный корень $x = -b/a$. Если $a=0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x + b = 0$.

а) имеет целые корни, но не имеет натуральных корней

Нам нужно составить уравнение, корень которого является целым числом ($Z = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$), но не является натуральным числом ($N = \{1, 2, 3, \dots\}$). Это означает, что корень должен быть либо нулем, либо отрицательным целым числом.

Возьмем в качестве примера корень $x=-5$. Это целое число, которое не является натуральным.

Подставим этот корень в формулу $x = -b/a$:

$-5 = -b/a$

Мы можем выбрать простые целочисленные коэффициенты, которые являются частным случаем действительных. Пусть $a=1$. Тогда:

$-5 = -b/1 \implies b=5$

Таким образом, мы получаем уравнение $1 \cdot x + 5 = 0$, или $x+5=0$. Его корень $x=-5$ удовлетворяет заданному условию.

Ответ: $x+5=0$.

б) имеет рациональные корни, но не имеет целых корней

Требуется составить уравнение, корень которого является рациональным числом ($x \in Q$), но не является целым числом ($x \notin Z$). Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $p/q$, где $p$ — целое, а $q$ — натуральное число. Корень должен быть дробным числом.

Возьмем в качестве примера корень $x = 2/3$. Это рациональное, но не целое число.

Используя формулу $x = -b/a$, получаем:

$2/3 = -b/a$

Выберем коэффициенты $a$ и $b$ так, чтобы удовлетворить этому равенству. Например, пусть $a=3$. Тогда:

$2/3 = -b/3 \implies -b = 2 \implies b = -2$

Получаем уравнение $3x-2=0$. Его корень $x=2/3$ удовлетворяет условию.

Ответ: $3x-2=0$.

в) имеют действительные корни, но не имеют рациональных корней

В этом случае корень уравнения должен быть действительным ($x \in R$), но не рациональным ($x \notin Q$), то есть иррациональным числом. Примерами иррациональных чисел являются $\sqrt{2}, \pi, e$.

Важно отметить, что если коэффициенты $a$ и $b$ в уравнении $ax+b=0$ оба рациональны, то корень $x = -b/a$ также будет рациональным. Следовательно, для получения иррационального корня хотя бы один из коэффициентов должен быть иррациональным.

Выберем в качестве корня иррациональное число $x = \sqrt{2}$.

Подставим его в $x = -b/a$:

$\sqrt{2} = -b/a$

Пусть $a=1$, тогда $b = -\sqrt{2}$. Коэффициенты $a=1$ и $b=-\sqrt{2}$ являются действительными.

Уравнение будет иметь вид $x - \sqrt{2} = 0$. Его корень $x=\sqrt{2}$ является действительным, но не рациональным.

Ответ: $x - \sqrt{2} = 0$.

г) не имеет действительных корней

Рассмотрим общее линейное уравнение $ax+b=0$.

Если коэффициент $a \neq 0$, то уравнение всегда имеет единственный действительный корень $x = -b/a$, поскольку $a$ и $b$ — действительные числа.

Следовательно, чтобы уравнение не имело действительных корней, необходимо рассмотреть случай, когда $a=0$. Уравнение принимает вид:

$0 \cdot x + b = 0$

Если $b=0$, то уравнение становится $0=0$, и его решением является любое действительное число. Это не подходит.

Если $b \neq 0$, то уравнение сводится к неверному равенству $b=0$. Например, если выбрать $b=7$, получим $7=0$. Это равенство не выполняется ни при каком значении $x$. Значит, в этом случае уравнение не имеет корней.

Таким образом, для выполнения условия необходимо, чтобы $a=0$ и $b \neq 0$. Возьмем, к примеру, $a=0$ и $b=1$.

Получаем уравнение $0 \cdot x + 1 = 0$. Оно не имеет действительных корней.

Ответ: $0 \cdot x + 1 = 0$.

32.2. Приведите примеры квадратных уравнений с действительными коэффициентами, которые:

а) имеют целые корни, но не имеют натуральных корней;

б) имеют рациональные корни, но не имеют целых корней;

в) имеют действительные корни, но не имеют рациональных корней;

г) не имеют действительных корней.

а) имеет целые корни, но не имеет натуральных корней;
Чтобы квадратное уравнение имело целые, но не натуральные корни, его корни должны быть целыми отрицательными числами или нулём. Натуральные числа — это целые положительные числа ($1, 2, 3, \ldots$).
Выберем два таких корня, например, $x_1 = -2$ и $x_2 = -3$. Оба корня являются целыми, но не натуральными.
Составим уравнение по его корням, используя теорему Виета или формулу $(x - x_1)(x - x_2) = 0$.
Подставив наши корни, получим:
$(x - (-2))(x - (-3)) = 0$
$(x + 2)(x + 3) = 0$
Раскроем скобки:
$x^2 + 3x + 2x + 6 = 0$
$x^2 + 5x + 6 = 0$
Коэффициенты этого уравнения $a=1, b=5, c=6$ являются действительными числами. Корни уравнения, $x_1 = -2$ и $x_2 = -3$, — целые, но не натуральные. Таким образом, данное уравнение удовлетворяет условию.
Ответ: $x^2 + 5x + 6 = 0$.

б) имеет рациональные корни, но не имеет целых корней;
Чтобы уравнение имело рациональные, но не целые корни, его корни должны быть дробными числами (несократимыми дробями, знаменатель которых не равен 1).
Выберем два таких корня, например, $x_1 = \frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{1}{3}$. Оба корня являются рациональными, но не целыми.
Составим уравнение по его корням: $(x - x_1)(x - x_2) = 0$.
$(x - \frac{1}{2})(x - \frac{1}{3}) = 0$
Раскроем скобки:
$x^2 - \frac{1}{3}x - \frac{1}{2}x + \frac{1}{6} = 0$
$x^2 - (\frac{2}{6} + \frac{3}{6})x + \frac{1}{6} = 0$
$x^2 - \frac{5}{6}x + \frac{1}{6} = 0$
Чтобы получить уравнение с целыми коэффициентами (которые также являются действительными), умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей, то есть на 6:
$6(x^2 - \frac{5}{6}x + \frac{1}{6}) = 6 \cdot 0$
$6x^2 - 5x + 1 = 0$
Коэффициенты $a=6, b=-5, c=1$ — действительные. Проверим корни по формуле: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{25-24}}{12} = \frac{5 \pm 1}{12}$. Корни $x_1 = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$. Они рациональные, но не целые.
Ответ: $6x^2 - 5x + 1 = 0$.

в) имеет действительные корни, но не имеет рациональных корней;
Чтобы уравнение имело действительные, но не рациональные корни, его корни должны быть иррациональными числами.
Для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ с рациональными коэффициентами это условие выполняется, если его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ положителен ($D > 0$), но не является полным квадратом рационального числа.
Рассмотрим простое уравнение, например, $x^2 - 3 = 0$.
Здесь коэффициенты $a=1, b=0, c=-3$. Они действительные.
Найдем дискриминант: $D = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 12$.
Так как $D = 12 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Число $12$ не является полным квадратом, поэтому корни будут иррациональными.
Найдем корни: $x^2 = 3$, откуда $x = \pm\sqrt{3}$.
Корни $x_1 = \sqrt{3}$ и $x_2 = -\sqrt{3}$ являются действительными иррациональными числами.
Ответ: $x^2 - 3 = 0$.

г) не имеет действительных корней.
Квадратное уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ отрицателен ($D < 0$).
Выберем коэффициенты так, чтобы это условие выполнялось. Например, возьмем $a=1, b=1, c=1$.
Получим уравнение $x^2 + x + 1 = 0$.
Коэффициенты $a=1, b=1, c=1$ являются действительными.
Вычислим дискриминант:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.
Так как $D = -3 < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Его корни являются комплексными числами.
Ответ: $x^2 + x + 1 = 0$.

32.3. Укажите хотя бы одно значение параметра $a$, при котором у уравнения $2x^2 + 4x + a = 0$:

а) оба корня целые, но не натуральные числа;

б) оба корня рациональные, но не целые числа;

в) оба корня действительные, но не рациональные числа;

г) укажите все значения $a$, при которых действительных корней нет.

Рассмотрим квадратное уравнение $2x^2 + 4x + a = 0$.

Корни этого уравнения находятся по формуле: $x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$, где $A=2$, $B=4$, $C=a$, а дискриминант $D = B^2 - 4AC$.

Вычислим дискриминант: $D = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot a = 16 - 8a$.

Тогда корни уравнения равны: $x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 8a}}{2 \cdot 2} = \frac{-4 \pm \sqrt{4(4 - 2a)}}{4} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{4 - 2a}}{4} = -1 \pm \frac{\sqrt{4 - 2a}}{2}$.

Характер корней зависит от выражения под корнем, то есть от дискриминанта $D = 16 - 8a$.

а) оба корня целые, но не натуральные числа;

Для того чтобы корни были целыми, выражение $\frac{\sqrt{4 - 2a}}{2}$ должно быть таким, чтобы при сложении с $-1$ и вычитании из $-1$ получались целые числа. Это возможно, если $\sqrt{4 - 2a}$ является целым четным числом. Пусть $\sqrt{4 - 2a} = 2k$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k \ge 0$).

Тогда корни уравнения примут вид: $x_1 = -1 + k$ и $x_2 = -1 - k$.

Нам нужно, чтобы оба корня были целыми, но не натуральными. Натуральные числа — это положительные целые числа ($1, 2, 3, \ldots$). Значит, корни должны быть меньше или равны нулю ($\le 0$).

Рассмотрим корень $x_1 = -1 + k$. Условие $x_1 \le 0$ дает нам $-1 + k \le 0$, то есть $k \le 1$.

Рассмотрим корень $x_2 = -1 - k$. Поскольку $k \ge 0$, то $-1 - k$ всегда будет $\le -1$, так что условие $x_2 \le 0$ выполняется автоматически.

Таким образом, нам подходят целые неотрицательные значения $k$, удовлетворяющие условию $k \le 1$. Это $k=0$ и $k=1$.

Если $k=0$, то $\sqrt{4 - 2a} = 0 \Rightarrow 4 - 2a = 0 \Rightarrow a = 2$. Корни в этом случае: $x_1 = -1+0 = -1$, $x_2 = -1-0 = -1$. Оба корня целые и не натуральные.

Если $k=1$, то $\sqrt{4 - 2a} = 2 \Rightarrow 4 - 2a = 4 \Rightarrow -2a = 0 \Rightarrow a = 0$. Корни в этом случае: $x_1 = -1+1 = 0$, $x_2 = -1-1 = -2$. Оба корня целые и не натуральные.

В задании просят указать хотя бы одно значение параметра $a$. Выберем, например, $a=0$.

Ответ: $a=0$.

б) оба корня рациональные, но не целые числа;

Корни уравнения $x_{1,2} = -1 \pm \frac{\sqrt{4 - 2a}}{2}$ будут рациональными, если подкоренное выражение $4 - 2a$ является квадратом рационального числа. Пусть $4 - 2a = q^2$, где $q$ — рациональное число. Тогда корни $x_{1,2} = -1 \pm \frac{q}{2}$ также будут рациональными.

Чтобы корни были не целыми, необходимо, чтобы $\frac{q}{2}$ не было целым числом. Это означает, что $q$ не должно быть четным целым числом.

Мы также знаем из пункта а), что если $q$ — четное целое число ($q=2k$), то корни будут целыми. Следовательно, для получения нецелых рациональных корней нужно, чтобы $4-2a$ было квадратом рационального числа, которое не является четным целым.

Выберем простое значение для $q$, например, пусть $q=1$.

Тогда $4 - 2a = 1^2 = 1$. Отсюда $2a = 3$, то есть $a = \frac{3}{2}$.

Проверим. При $a = 3/2$ уравнение имеет вид $2x^2 + 4x + \frac{3}{2} = 0$. Умножив на 2, получим $4x^2 + 8x + 3 = 0$. Дискриминант $D = 8^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 - 48 = 16$. Корни $x_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{16}}{8} = \frac{-8 \pm 4}{8}$.

$x_1 = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2}$. Оба корня рациональные, но не целые.

Ответ: $a=\frac{3}{2}$.

в) оба корня действительные, но не рациональные числа;

Корни уравнения будут действительными, если дискриминант $D = 16 - 8a \ge 0$, то есть $a \le 2$.

Корни будут иррациональными (действительными, но не рациональными), если дискриминант $D = 16 - 8a$ является положительным числом, но не является полным квадратом рационального числа (а так как коэффициенты целые, то не является квадратом целого числа).

Итак, нам нужно выбрать такое значение $a \le 2$, чтобы $16 - 8a > 0$ и

32.4. Укажите хотя бы одно значение параметра $a$, при котором у уравнения $3x^2 + ax + 6 = 0$:

а) оба корня целые, но не натуральные числа;

б) оба корня рациональные, но только один из них — целое число;

в) оба корня действительные, но не рациональные числа;

г) укажите все значения $a$, при которых действительных корней нет.

Рассмотрим квадратное уравнение $3x^2 + ax + 6 = 0$.

Для решения задачи нам понадобятся следующие формулы:

Дискриминант уравнения: $D = a^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6 = a^2 - 72$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-a \pm \sqrt{D}}{6}$.

Теорема Виета:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{a}{3}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{6}{3} = 2$

Действительные корни существуют, если $D \ge 0$, то есть $a^2 - 72 \ge 0$.

а) оба корня целые, но не натуральные числа;

По теореме Виета произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 2$. Так как по условию корни $x_1$ и $x_2$ являются целыми числами, то возможны следующие пары корней: $(1, 2)$ и $(-1, -2)$.

Натуральные числа — это положительные целые числа. Условию "не натуральные числа" удовлетворяет только пара $(-1, -2)$, так как оба числа являются отрицательными целыми.

Пусть $x_1 = -1$ и $x_2 = -2$.

Теперь найдем соответствующее значение параметра $a$ из формулы для суммы корней:

$x_1 + x_2 = -\frac{a}{3}$

$(-1) + (-2) = -\frac{a}{3}$

$-3 = -\frac{a}{3}$

$a = 9$

Проверим: при $a=9$ уравнение имеет вид $3x^2 + 9x + 6 = 0$. После деления на 3 получаем $x^2 + 3x + 2 = 0$. Корни этого уравнения равны $x_1 = -1$ и $x_2 = -2$. Оба корня являются целыми, но не натуральными. Условие выполнено.

Ответ: $a=9$.

б) оба корня рациональные, но только один из них — целое число;

Пусть один из корней, $x_1$, является целым числом. Из теоремы Виета $x_1 \cdot x_2 = 2$, следовательно, второй корень $x_2 = \frac{2}{x_1}$.

По условию, только один корень должен быть целым. Значит, $x_1$ — целое, а $x_2$ — рациональное, но не целое. Это означает, что $x_1$ не должен быть делителем числа 2. Делители 2: $\pm 1, \pm 2$.

Выберем для $x_1$ любое целое число, не равное $\pm 1$ или $\pm 2$. Например, пусть $x_1 = 3$.

Тогда $x_2 = \frac{2}{3}$. Эта пара корней ($3$ и $\frac{2}{3}$) удовлетворяет условию: один корень целый, другой — рациональный, но не целый.

Найдем значение $a$ для этой пары корней, используя сумму корней:

$x_1 + x_2 = -\frac{a}{3}$

$3 + \frac{2}{3} = -\frac{a}{3}$

$\frac{9}{3} + \frac{2}{3} = \frac{11}{3} = -\frac{a}{3}$

$a = -11$

Проверим: при $a=-11$ уравнение имеет вид $3x^2 - 11x + 6 = 0$. Дискриминант $D = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6 = 121 - 72 = 49 = 7^2$. Корни: $x = \frac{11 \pm 7}{6}$. $x_1 = \frac{18}{6} = 3$ и $x_2 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. Условия выполнены.

Ответ: $a=-11$ (возможны и другие значения, например, $a=11, a=19, a=-19$).

в) оба корня действительные, но не рациональные числа;

Корни уравнения являются действительными и иррациональными, если дискриминант $D = a^2 - 72$ строго положителен ($D>0$) и не является полным квадратом рационального числа.

Условие $D > 0$ означает $a^2 - 72 > 0$, то есть $a^2 > 72$.

Наименьшее целое число, квадрат которого больше 72, это 9 ($9^2 = 81$).

Проверим целые значения для $a$, начиная с 9.

При $a=9$: $D = 9^2 - 72 = 81 - 72 = 9 = 3^2$. Дискриминант является полным квадратом, поэтому корни будут рациональными. Этот случай не подходит.

При $a=10$: $D = 10^2 - 72 = 100 - 72 = 28$. Число 28 положительное, но не является полным квадратом. Следовательно, $\sqrt{D} = \sqrt{28}$ — иррациональное число, и корни уравнения будут иррациональными.

Корни при $a=10$ равны $x_{1,2} = \frac{-10 \pm \sqrt{28}}{6} = \frac{-10 \pm 2\sqrt{7}}{6} = \frac{-5 \pm \sqrt{7}}{3}$. Оба корня действительные, но не рациональные. Условие выполнено.

Ответ: $a=10$ (возможно и любое другое значение $a$, для которого $a^2-72$ является положительным числом, но не полным квадратом, например, $a=12$).

г) укажите все значения $a$, при которых действительных корней нет.

Уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант отрицателен.

$D < 0$

$a^2 - 72 < 0$

$a^2 < 72$

Решением этого неравенства является интервал:

$-\sqrt{72} < a < \sqrt{72}$

Упростим $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$.

Таким образом, интервал для $a$ следующий:

$-6\sqrt{2} < a < 6\sqrt{2}$

Ответ: $a \in (-6\sqrt{2}, 6\sqrt{2})$.