Номер 32.1, страница 189, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

32.1. Приведите примеры линейных уравнений с действительными коэффициентами, которые:

а) имеют целые корни, но не имеют натуральных корней;

б) имеют рациональные корни, но не имеют целых корней;

в) имеют действительные корни, но не имеют рациональных корней;

г) не имеют действительных корней.

Линейное уравнение с одной переменной в общем виде записывается как $ax+b=0$, где $a$ и $b$ – действительные коэффициенты. Если $a \neq 0$, уравнение имеет единственный корень $x = -b/a$. Если $a=0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x + b = 0$.

а) имеет целые корни, но не имеет натуральных корней

Нам нужно составить уравнение, корень которого является целым числом ($Z = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$), но не является натуральным числом ($N = \{1, 2, 3, \dots\}$). Это означает, что корень должен быть либо нулем, либо отрицательным целым числом.

Возьмем в качестве примера корень $x=-5$. Это целое число, которое не является натуральным.

Подставим этот корень в формулу $x = -b/a$:

$-5 = -b/a$

Мы можем выбрать простые целочисленные коэффициенты, которые являются частным случаем действительных. Пусть $a=1$. Тогда:

$-5 = -b/1 \implies b=5$

Таким образом, мы получаем уравнение $1 \cdot x + 5 = 0$, или $x+5=0$. Его корень $x=-5$ удовлетворяет заданному условию.

Ответ: $x+5=0$.

б) имеет рациональные корни, но не имеет целых корней

Требуется составить уравнение, корень которого является рациональным числом ($x \in Q$), но не является целым числом ($x \notin Z$). Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $p/q$, где $p$ — целое, а $q$ — натуральное число. Корень должен быть дробным числом.

Возьмем в качестве примера корень $x = 2/3$. Это рациональное, но не целое число.

Используя формулу $x = -b/a$, получаем:

$2/3 = -b/a$

Выберем коэффициенты $a$ и $b$ так, чтобы удовлетворить этому равенству. Например, пусть $a=3$. Тогда:

$2/3 = -b/3 \implies -b = 2 \implies b = -2$

Получаем уравнение $3x-2=0$. Его корень $x=2/3$ удовлетворяет условию.

Ответ: $3x-2=0$.

в) имеют действительные корни, но не имеют рациональных корней

В этом случае корень уравнения должен быть действительным ($x \in R$), но не рациональным ($x \notin Q$), то есть иррациональным числом. Примерами иррациональных чисел являются $\sqrt{2}, \pi, e$.

Важно отметить, что если коэффициенты $a$ и $b$ в уравнении $ax+b=0$ оба рациональны, то корень $x = -b/a$ также будет рациональным. Следовательно, для получения иррационального корня хотя бы один из коэффициентов должен быть иррациональным.

Выберем в качестве корня иррациональное число $x = \sqrt{2}$.

Подставим его в $x = -b/a$:

$\sqrt{2} = -b/a$

Пусть $a=1$, тогда $b = -\sqrt{2}$. Коэффициенты $a=1$ и $b=-\sqrt{2}$ являются действительными.

Уравнение будет иметь вид $x - \sqrt{2} = 0$. Его корень $x=\sqrt{2}$ является действительным, но не рациональным.

Ответ: $x - \sqrt{2} = 0$.

г) не имеет действительных корней

Рассмотрим общее линейное уравнение $ax+b=0$.

Если коэффициент $a \neq 0$, то уравнение всегда имеет единственный действительный корень $x = -b/a$, поскольку $a$ и $b$ — действительные числа.

Следовательно, чтобы уравнение не имело действительных корней, необходимо рассмотреть случай, когда $a=0$. Уравнение принимает вид:

$0 \cdot x + b = 0$

Если $b=0$, то уравнение становится $0=0$, и его решением является любое действительное число. Это не подходит.

Если $b \neq 0$, то уравнение сводится к неверному равенству $b=0$. Например, если выбрать $b=7$, получим $7=0$. Это равенство не выполняется ни при каком значении $x$. Значит, в этом случае уравнение не имеет корней.

Таким образом, для выполнения условия необходимо, чтобы $a=0$ и $b \neq 0$. Возьмем, к примеру, $a=0$ и $b=1$.

Получаем уравнение $0 \cdot x + 1 = 0$. Оно не имеет действительных корней.

Ответ: $0 \cdot x + 1 = 0$.